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デルタ関数\(δ(x-a)\)とは、カッコの中が\(0\)のときのみ特殊な値になるようなものであり、次のようにして定義される。
$$\int_{-∞}^∞ f(x)δ(x-a)dx=f(a)$$
このデルタ関数は名前に関数とついているが、正確には関数ではない。そのため、このように積分を使って定義される。
デルタ関数について
デルタ関数には、次の2つの性質がある。
1.デルタ関数\(δ(x-a)\)を、\(x\)の値で場合分けすると、次のようになる。
\begin{eqnarray} δ(x-a) = \begin{cases} ∞ & (x=a) \\ 0 & (x≠a) \end{cases} \end{eqnarray}
つまり、デルタ関数をグラフ化すると、次のようになる。
2.デルタ関数を全空間で積分した値は\(1\)になる。
$$\int_{-∞}^∞ δ(x-a)dx=1$$
ただし、\(x=a\)以外の場所ではデルタ関数は0になるため、「\(δ(x-a)\)を、\(x=a\)を含む範囲で積分した値は\(1\)になる」と言い換えることができる。
3.デルタ関数は、偶関数に似た性質を持つ。
$$δ(x)=δ(-x)$$
デルタ関数の用途
電荷密度と電荷
なぜ電荷密度をデルタ関数で表せるのか
位置\({\bf z}\)に電荷\(e\)の電子が存在する。この場合、電荷密度\(ρ({\bf r})\)と電荷\(e\)の関係は、デルタ関数を使って次のように書ける。
$$ρ({\bf r})=eδ^3({\bf r}-{\bf z})$$
位置\({\bf z}\)以外には電荷は全くないため、電荷密度は0である。そして、位置\({\bf z}\)という無限小の空間に電荷\(e\)が存在するため、位置\({\bf z}\)でのみ電荷密度が無限大に発散してしまう。だから、電荷密度をデルタ関数で表せる。
電荷密度を全空間で積分してみる
電荷密度を全空間で積分すると、全空間における電荷の総量が求まるはずだ。今考えている状況では、電荷\(e\)が1つしか存在しないため、積分結果も\(e\)になるはずだ。実際に計算してみる。
\begin{eqnarray} \int ρ({\bf r})d^3r&=&\int eδ^3({\bf r}-{\bf z})d^3r\\&=&e\int δ^3({\bf r}-{\bf z})d^3r\\&=&e･1\\&=&e \end{eqnarray}
これで、計算結果が\(e\)になることが確かめられた。
参考文献
・砂川重信(1987)『物理テキストシリーズ4 電磁気学』,岩波書店.
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