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ミンコフスキー空間とは

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ミンコフスキー空間とは、横軸に場所、縦軸に時間をとり、原点に観測者を置いた空間のことである。ミンコフスキー空間上の直線の傾きは、物体の速度を表す。特に、縦軸をctでとっているため、光速の傾きが45度になる。この光速を表す線を母線とする円錐を、光錐と呼ぶ。

あらゆる物体は光よりも早く動けないので、ミンコフスキー空間上で物体の運動を考えるとき、その物体を表す矢印の傾きは赤い線より大きくなくてはならない(矢印は光錐の内部にのみ存在できると言い換え可能)。さらに、物体は過去には進まないため、物体を表す矢印は下方向には向かない

ミンコフスキー空間の分割

ミンコフスキー空間は、光速を表す線によって3種類に分割される。それぞれ何を表しているかを考える。

時間領域

分割された部分のうち、時間軸ctを含む領域を時間領域と呼ぶ。

未来を表す部分

上の図で赤く塗られている部分は、原点の人から見て未来を表している。

過去を表す部分

上の図で青く塗られている部分は、原点の人から見て過去を表している。

空間領域

上の図で白くなっている部分は、空間領域と呼ばれる。

光速度不変とミンコフスキー空間

静止系Sと運動系Sで、ミンコフスキー空間の軸がどのように変わるのか見ていこう。具体的な方法として、ローレンツ逆変換を使って、系S上の座標(ct,x)=(0,1),(1,0)は、系S上ではどの座標に対応するか考える。

静止系Sに対して系Sがx軸方向に速度Vで動いているとすると、ローレンツ逆変換は、次のような式となる。(β=V/c,γ=1/1β2)

{ct=γ(ct+βx)x=γ(x+Vt)

参考:ローレンツ変換の意味

今、系Sの速度VV=0.80cとする(つまり光速の80%の速度)。ローレンツ変換(ct,x)=(0,1)も代入すると、

{ct=11(0.80)2(0+0.80cc)1.3x=11(0.80)2(1+Vc0)1.7

同様に(ct,x)=(1,0)も代入する。

{ct=11(0.80)2(1+0)1.7x=11(0.80)2(0+0.80cc1)1.3
また、あらゆる慣性系から観測しても光速度は同じだから、ミンコフスキー空間上の光速は、あらゆる慣性系において共通の線となる。

以上の情報を踏まえて、同じミンコフスキー空間上に系S,Sの軸を描いてみる。

光速を表す線を赤線、静止系Sの軸を黒線、運動系Sの軸を水色の線で表した。

ここまでの考察より、静止系Sの座標における座標(x,ct)=(1,0)と座標(x,ct)=(0,1)は、運動系ではそれぞれ(x,ct)=(1.7,1.3)と(x,ct)=(1.3,1.7)に変換されることがわかった。運動系の軸はこれらの点と原点を通るため、そのような水色の線を引けば、運動系Sの軸が求まる。

この図から、運動している系Sの座標軸は、光を表す赤線に近づくことがわかる。

参考文献

・平川浩正(1986)「相対論」,共立出版株式会社.

・二間瀬敏史(2005)『よくわかる相対性理論』,ナツメ社.

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