昇降演算子とは、固有方程式の固有値を変化させることができるような演算子のことである。固有値を上げるような演算子を上昇演算子、下げるような演算子を下降演算子とよぶ。
この記事では、角運動量演算子の昇降演算子の定義と、その物理的意味を紹介する。
昇降演算子の定義
角運動量の上昇演算子を\(\hat{L}_+\)、下降演算子を\(\hat{L}_-\)と表すと、これらは次のように定義される。
$$\hat{L}_+ \equiv \hat{L}_x+i\hat{L}_y$$
$$\hat{L}_- \equiv \hat{L}_x-i\hat{L}_y$$
昇降演算子の交換関係
昇降演算子の物理的意味を探る準備として、まずは次の主要な交換関係を導く。
\([\hat{L}_i,\hat{L}_j]=iħ \epsilon _{ijk} \hat{L}_k\)の導出
完全反対称テンソルについて
式中の\(\epsilon _{ijk}\)は、完全反対称テンソルと呼ばれるものである。添字\(i,j,k\)には数字の\(1,2,3\)のどれかが入る。
\begin{eqnarray}\epsilon _{ijk} \equiv \begin{cases} 1 & (偶置換) \\ -1 & (奇置換) \\ 0 & (その他) \end{cases}\end{eqnarray}
本題の導出
$$[\hat{L}_i,\hat{L}_j]=iħ \epsilon _{ijk} \hat{L}_k$$
という式は、いくつかの式をまとめて表現したものである。
添字i,j,kに入り得る数字1,2,3は、それぞれx軸、y軸、z軸に対応する。ここで、x軸・y軸・z軸が対応しているのはそれぞれ数字1,2,3であって、添字i,j,kに対応しているのではないことに注意する。添字はあくまで数字1,2,3(x,y,z軸)の入れ物に過ぎないということである。
ここでは、
$$[\hat{L}_x,\hat{L}_y]=iħ \epsilon _{123} \hat{L}_z$$
の導出を行う。軌道角運動量の各軸成分の具体形は下の記事を参照してください。
\begin{eqnarray}[\hat{L}_x,\hat{L}_y]&=&\hat{L}_x\hat{L}_y-\hat{L}_y\hat{L}_x\\&=&\left( \frac{ħ}{i} \right)^2 \left[ \left( y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y} \right) \left( z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z} \right) – \left( z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z} \right) \left( y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y} \right) \right]\\&=&\left( \frac{ħ}{i} \right)^2 \left[ \left( y\frac{\partial}{\partial z} \left( z\frac{\partial}{\partial x} \right) -y\frac{\partial}{\partial z} \left( x\frac{\partial}{\partial z} \right) -z\frac{\partial}{\partial y} \left( z\frac{\partial}{\partial x} \right) +z\frac{\partial}{\partial y} \left( x\frac{\partial}{\partial z} \right) \right) \\ \qquad – \left( z\frac{\partial}{\partial x} \left( y\frac{\partial}{\partial z} \right) -z\frac{\partial}{\partial x} \left( z\frac{\partial}{\partial y} \right) -x\frac{\partial}{\partial z} \left( y\frac{\partial}{\partial z} \right)+x\frac{\partial}{\partial z} \left( z\frac{\partial}{\partial y} \right) \right) \right]\\&=&\left( \frac{ħ}{i} \right)^2 \left[ \left( y\frac{\partial}{\partial z} \left( z\frac{\partial}{\partial x} \right) -yx \frac{\partial ^2}{\partial z^2} -z^2 \frac{\partial ^2}{\partial y \partial x} +zx \frac{\partial ^2}{\partial y \partial z} \right) \\ \qquad – \left( zy \frac{\partial ^2}{\partial x \partial z} -z^2 \frac{\partial ^2}{\partial x \partial y} -xy \frac{\partial ^2}{\partial z^2} +x\frac{\partial}{\partial z} \left( z\frac{\partial}{\partial y} \right) \right) \right]\\&=&\left( \frac{ħ}{i} \right)^2 \left[ \left( y\frac{\partial}{\partial z} \left( z\frac{\partial}{\partial x} \right) +zx \frac{\partial ^2}{\partial y \partial z} \right) \\ \qquad – \left( zy \frac{\partial ^2}{\partial x \partial z} +x\frac{\partial}{\partial z} \left( z\frac{\partial}{\partial y} \right) \right) \right]\\&=&\left( \frac{ħ}{i} \right)^2 \left[ \left( y\frac{\partial}{\partial x} +yz\frac{\partial ^2}{\partial z \partial x} +zx \frac{\partial ^2}{\partial y \partial z} \right) \\ \qquad – \left( zy \frac{\partial ^2}{\partial x \partial z} +x\frac{\partial}{\partial y}+xz\frac{\partial ^2}{\partial z \partial y} \right) \right]\\&=&\left( \frac{ħ}{i} \right)^2 \left( y\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial y} \right)\\&=&ħ^2 \left( x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x} \right)\\&=&iħ \frac{ħ}{i} \left( x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x} \right)\\&=&iħ \hat{L}_z \end{eqnarray}
以上で、
$$[\hat{L}_x,\hat{L}_y]=iħ \hat{L}_z$$
の導出が完了した。同様の手順で、
$$[\hat{L}_y,\hat{L}_x]=-iħ \hat{L}_z, \ [\hat{L}_x,\hat{L}_z]=-iħ \hat{L}_y , \ [\hat{L}_z,\hat{L}_y]=-iħ \hat{L}_x$$
$$[\hat{L}_y,\hat{L}_z]=iħ \hat{L}_x, \ [\hat{L}_z,\hat{L}_x]=iħ \hat{L}_y$$
も導出できる。
また、次のような同じ軸成分の角運動量の交換関係は0になる。
$$[\hat{L}_x,\hat{L}_x]=0, \ [\hat{L}_y,\hat{L}_y]=0, \ [\hat{L}_z,\hat{L}_z]=0$$
以上の式をまとめたものが、
$$[\hat{L}_i,\hat{L}_j]=iħ \epsilon _{ijk} \hat{L}_k$$
である。
\([\hat{L}_z,\hat{L}_{ \pm }]= \pm ħ \hat{L}_{ \pm }\)の導出
5行目で上の公式を使っている。
\begin{eqnarray}[\hat{L}_z,\hat{L}_{\pm}]&=&\hat{L}_z \hat{L}_{\pm}-\hat{L}_{\pm}\hat{L}_z\\&=&\hat{L}_z(\hat{L}_x \pm i\hat{L}_y)-(\hat{L}_x \pm i\hat{L}_y)\hat{L}_z\\&=&(\hat{L}_z\hat{L}_x \pm i\hat{L}_z\hat{L}_y)-(\hat{L}_x\hat{L}_z \pm i\hat{L}_y\hat{L}_z)\\&=&[\hat{L}_z,\hat{L}_x] \pm i[\hat{L}_z,\hat{L}_y]\\&=&iħ\hat{L}_y \pm (-i^2ħ\hat{L}_x)\\&=&iħ\hat{L}_y \pm ħ\hat{L}_x\\&=& \pm ħ(\hat{L}_x \pm i\hat{L}_y)\\&=& \pm ħ\hat{L}_{\pm} \end{eqnarray}
\([\hat{\bf L}^2,\hat{L}_{ \pm }]= 0\)の導出
$$\hat{\bf L}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2$$
だから、
\begin{eqnarray}[\hat{\bf L}^2,\hat{L}_x]&=&[\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2,\hat{L}_x]\\&=&(\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2)\hat{L}_x-\hat{L}_x(\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2)\\&=&\hat{L}_y^2\hat{L}_x-\hat{L}_x\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2\hat{L}_x-\hat{L}_x\hat{L}_z^2\\&=&(\hat{L}_y^2\hat{L}_x-\hat{L}_y\hat{L}_x\hat{L}_y)+(\hat{L}_y\hat{L}_x\hat{L}_y-\hat{L}_x\hat{L}_y^2) \\ &&+(\hat{L}_z^2\hat{L}_x-\hat{L}_z\hat{L}_x\hat{L}_z)+(\hat{L}_z\hat{L}_x\hat{L}_z-\hat{L}_x\hat{L}_z^2)\\&=&\hat{L}_y[\hat{L}_y,\hat{L}_x]+[\hat{L}_y,\hat{L}_x]\hat{L}_y+\hat{L}_z[\hat{L}_z,\hat{L}_x]+[\hat{L}_z,\hat{L}_x]\hat{L}_z\\&=&\hat{L}_y(-iħ\hat{L}_z)+(-iħ\hat{L}_z)\hat{L}_y+\hat{L}_z(iħ\hat{L}_y)+(iħ\hat{L}_y)\hat{L}_z\\&=&0\end{eqnarray}
同様に、
$$[\hat{\bf L}^2,\hat{L}_y]=0$$
よって、
\begin{eqnarray}[\hat{\bf L}^2,\hat{L}_{ \pm }]&=&[\hat{\bf L}^2,\hat{L}_x \pm i\hat{L}_y]\\&=&[\hat{\bf L}^2,\hat{L}_x]+[\hat{\bf L}^2, \pm i\hat{L}_y]\\&=&0\end{eqnarray}
昇降演算子の物理的意味
角運動量演算子が満たす固有方程式
角運動量演算子は、次の固有方程式を満たす。
$$\hat{L}_zY(θ,φ)=mħY_l^m(θ,φ)$$
式中の\(Y_l^m(θ,φ)\)は球面調和関数というものである。\(l,\)\(m\)はそれぞれ方位量子数と磁気量子数である。
$$Y_l^m(θ,φ) \equiv (-1)^{\frac{m+|m|}{2}}\sqrt{\left( \frac{2l+1}{4 \pi}\right) \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P^m_l(cosθ)e^{imφ}$$
以降の変形では球面調和関数の量子数に注目してほしいため、ここではこの球面調和関数をケットベクトルを使って次のように表すことにする。
$$|l,m \! > \equiv Y_l^m(θ,φ)$$
これを使って最初の固有方程式を書き換える。
$$\hat{L}_z|l,m \! >=mħ|l,m \!>$$
ケットベクトルに昇降演算子を適応させてみる
\(\hat{L}_{\pm}|l,m \! >\)に演算子\(\hat{L}_z\)を適応させた場合
もしケットベクトルを、昇降演算子を適応させたものに入れ替えたらどうなるだろうか。
$$\hat{L}_z(\hat{L}_{\pm}|l,m \! >)=mħ(\hat{L}_{\pm}|l,m \!>)$$
上で導出した公式を利用すると、この式の左辺は次のように変形できる。
\begin{eqnarray}\hat{L}_z(\hat{L}_{\pm}|l,m \! >)&=&(\hat{L}_z\hat{L}_{\pm})|l,m \! >\\&=&([\hat{L}_z,\hat{L}_{\pm}]+\hat{L}_{\pm}\hat{L}_z)|l,m \! >\\&=&(\pm ħ\hat{L}_{\pm}+mħ\hat{L}_{\pm})|l,m \! >\\&=&ħ(m \pm 1)(\hat{L}_{\pm}|l,m \! >)\end{eqnarray}
この固有方程式から、ケットベクトルに昇降演算子を適応させると、\(\hat{L}_z\)による固有値が\(ħ\)だけ増減することがわかる。固有値が変化するということはつまり、ケットベクトルの量子数mの値が次のように変化しているということになる。
$$\hat{L}_z(\hat{L}_{\pm}|l,m \! >)=ħ(m \pm 1)|l,m \pm 1 \! >$$
\(\hat{L}_{\pm}|l,m \! >\)に演算子\(\hat{\bf L}^2\)を適応させた場合
今度は\(\hat{L}_{\pm}|l,m \! >\)に演算子\(\hat{\bf L}^2\)を適応してみる。
$$\hat{\bf L}^2Y(θ,φ)=ħ^2l(l+1)Y_l^m(θ,φ)$$
に注意すると、
\begin{eqnarray}\hat{\bf L}^2(\hat{L}_{\pm}|l,m \! >)&=&(\hat{\bf L}^2\hat{L}_{\pm})|l,m \! >\\&=&([\hat{\bf L}^2,\hat{L}_{\pm}]+\hat{L}_{\pm}\hat{\bf L}^2)|l,m \! >\\&=&(\hat{L}_{\pm}\hat{\bf L}^2)|l,m \! >\\&=&ħ^2l(l+1)\hat{L}_{\pm}|l,m \! >\end{eqnarray}
変形前後のみを取り出すと、
$$\hat{\bf L}^2(\hat{L}_{\pm}|l,m \! >)=ħ^2l(l+1)\hat{L}_{\pm}|l,m \! >$$
これは、演算子\(\hat{\bf L}^2\)を適応させる前後で固有値が変化しないことを意味する。
２つの固有方程式からわかったこと
以上のことをまとめると、「\(\hat{L}_{\pm}|l,m \! >\)に演算子\(\hat{L}_z\)を適応させたらケットベクトルの量子数\(m\)が\(m \pm 1\)に変わるが、演算子\(\hat{\bf L}^2\)を適応させても量子数\(l\)は変わらない」ということになる。
このことを１つの数式でまとめると次のようになる。ただし、\(C_{\pm}\)は定数である。
$$\hat{L}_{\pm}|l,m \! >=C_{\pm}|l,m \pm 1 \! >$$
ケットベクトルは球面調和関数の書き換えであったが、球面調和関数は波動関数を極座標で表したときの角度成分を表しているものであった。
したがって、昇降演算子をブラベクトルに作用させることで、波動関数の量子数を増減させることができるといえる。
\(C_{\pm}\)の値について
上で求めた式
$$\hat{L}_{\pm}|l,m \! >=C_{\pm}|l,m \pm 1 \! >$$
に含まれる\(C_{\pm}\)はまだ求められていないので、これを求めてみる。
上と同じように、まずは下準備として次の有名な交換関係などの導出を行う。
\([\hat{L}_+,\hat{L}_-]=2ħ\hat{L}_z\)の導出
\begin{eqnarray}[\hat{L}_+,\hat{L}_-]&=&\hat{L}_+\hat{L}_- – \hat{L}_-\hat{L}_+\\&=&(\hat{L}_x+i\hat{L}_y)(\hat{L}_x-i\hat{L}_y) – (\hat{L}_x-i\hat{L}_y)(\hat{L}_x+i\hat{L}_y)\\&=&(\hat{L}_x^2-i[\hat{L}_x,\hat{L}_y]+\hat{L}_y^2) – (\hat{L}_x^2+i[\hat{L}_x,\hat{L}_y]+\hat{L}_y^2)\\&=&-2i[\hat{L}_x,\hat{L}_y]\\&=&2ħ\hat{L}_z\end{eqnarray}
\(\hat{L}_{\pm} \hat{L}_{\mp} =\hat{\bf L}^2-\hat{L}_z(\hat{L}_z \mp ħ)\)の導出
\begin{eqnarray}\hat{L}_{\pm} \hat{L}_{\mp}&=&\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2 \mp i[\hat{L}_x,\hat{L}_y]\\&=&(\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2) -\hat{L}_z^2 \mp i^2ħ\hat{L}_z\\&=&\hat{\bf L}^2 -\hat{L}_z(\hat{L}_z \mp ħ)\end{eqnarray}
\(C_{\pm}\)の導出
ブラケットベクトルを用いて、次の内積を計算する。
\begin{eqnarray}< \! l,m|\hat{L}_{\mp}\hat{L}_{\pm} |l,m \!>&=&< \! l,m \pm 1|C_{\pm}^2 |l,m \pm 1 \!>\\&=&C_{\pm}^2< \! l,m \pm 1|l,m \pm 1 \!>\\&=&C_{\pm}^2\end{eqnarray}
ここで、波動関数は
$$< \! l,m \pm 1|l,m \pm 1 \!>=Y_l^{(m \pm 1)*}(θ,φ)Y_l^{(m \pm 1)}(θ,φ)=|Y_l^{(m \pm 1)}(θ,φ)|^2=1$$
に規格化されていることに注意する。また、\(\hat{\bf L}^2\)と\(\hat{L}_z\)に関する固有方程式より、
\begin{eqnarray}< \! l,m|\hat{L}_{\mp}\hat{L}_{\pm} |l,m \!>&=&< \! l,m|\hat{\bf L}^2-\hat{L}_z(\hat{L}_z \pm ħ)|l,m \!>\\&=&< \! l,m|\hat{\bf L}^2|l,m \!>-< \! l,m|\hat{L}_z(\hat{L}_z \pm ħ)|l,m \!>\\&=&ħ^2l(l+1)< \! l,m|l,m \!>-ħ^2m(m \pm 1)< \! l,m|l,m \!>\\&=&ħ^2[l(l+1)-m(m \pm 1)]\end{eqnarray}
以上より
$$C_{\pm}^2=ħ^2[l(l+1)-m(m \pm 1)]$$
だから、
$$\hat{L}_{\pm}|l,m \! >=ħ \sqrt{l(l+1)-m(m \pm 1)}|l,m \pm 1 \! >$$
まとめ
・昇降演算子を次のように定義した。
$$\hat{L}_{\pm} \equiv \hat{L}_x \pm i\hat{L}_y$$
・昇降演算子をブラベクトルに作用させることで、波動関数の量子数を増減させることができる。
・昇降演算子を作用させる前後の関係式は、次のようになる。
$$\hat{L}_{\pm}|l,m \! >=ħ \sqrt{l(l+1)-m(m \pm 1)}|l,m \pm 1 \! >$$
参考文献
原田勲･杉山忠男(2009)『講談社基礎物理学シリーズ6 量子力学I』,講談社.
二宮正夫･杉野文彦･杉山忠男(2010)『講談社基礎物理学シリーズ7 量子力学II』,講談社.
村上雅人(2008)『なるほど量子力学III』,海鳴社.
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