静止している系から光速近くで動いている物体を観察する。すると、その物体は本来の長さ(物体が停止しているときの長さ)よりも短く見える。この現象のことをローレンツ収縮とよぶ。
物体が停止しているときの棒の長さをL0、物体が動いている様子を静止系から見たときの棒の長さをLとすると、両者の間には次の関係が成り立つ。ただし、運動系S’は、系Sに対してx方向に速度Vの速さで動いていて、かつ棒は系S’と同じように動いているものとする。
L=L0√1−V2c2=L0√1−β2
ローレンツ収縮の導出
ローレンツ変換の復習
{t′=γ(t−Vc2x)x′=γ(x−Vt)y′=yz′=z
γ=1√1−V2c2=1√1−β2
β=Vc
参考:ローレンツ変換の意味
ローレンツ収縮の導出
静止系Sに対して、運動系S′がx軸方向に速度Vで動いている。さらに、長さL0の棒が運動系S′と同様に動いているとする。
系Sから見た棒の片方の先端の位置をx1、もう片方の先端の位置をx2とする。同様に、系S′から見た棒の片方の先端の位置をx′1、もう片方の先端の位置をx′2とする。棒は系S′と同じように動いているため、この棒は系S′で観察すると静止しているように見える。そのため、系S′上で観察したときの棒の長さx′2−x′1は元の棒の長さL0となる。
x′2−x′1=L0
ではこれから、静止系Sから棒を観察したときの棒の長さLを、L0を使って表現する。
まずローレンツ変換より、x1とx′1、x2とx′2の関係はそれぞれ次のようになる。
{x′1=γ(x1−Vt)x′2=γ(x2−Vt)
後はL0=x′2−x′1に上のローレンツ変換を代入すればよい。
L0=x′2−x′1=(γ(x2−Vt))−(γ(x1−Vt))=γ(x2−x1)=γL
両辺をγで割ると、
L=L0√1−V2c2
ここで、√1−V2c2<1だから、
L0>L
この式から、静止している系Sから観測される棒の長さLは、棒の元の長さL0よりも短くなる。
まとめ
運動している棒を静止している系から観察すると、進行方向に縮んで見える。
参考文献
・戸田盛和(1997)『物理学30講シリーズ7 相対性理論30講』,朝倉書店.
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