ビオ・サバールの法則

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- 0.0.1 ビオ・サバールの法則

1 例題直線電流の周りの磁束密度
2 まとめ
3 参考文献

ビオ・サバールの法則

ビオ・サバールの法則とは、位置 ${\bf r}$ における、電流による磁束密度 ${\bf B}$ を表す式である。この式はビオとサバールによって行われた実験によって求められたものである。

$d{\bf B}=\frac{μ_0}{4π}･\frac{Id{\bf s}×{\bf r}}{r^3}$

$d{\bf s}$ :電流が進む向きを表すベクトル　 $I$ :電流の強さ

位置 ${\bf r}$ における磁束密度 ${\bf B}$ を求めるには、上の式の両辺を積分すればよい。この式の右辺に含まれている微小量は $d{\bf s}$ であるため、電流の通り道に沿って積分する。

例題直線電流の周りの磁束密度

問題の見通し

次のように、直線電流 $I$ の周りにできる磁束密度を求める。

この図から、回転対称性より、磁束密度は導線からの距離のみに依存することがわかる。ここでは、導線から距離 $a$ だけ離れた地点の磁束密度 ${\bf B}$ を求める。

外積の大きさはsinを使って表せたことを思い出す。

$|{\bf A}×{\bf B}|=|{\bf A}||{\bf B}|sinθ$

参考:内積・外積の用途

この式をビオサバールの法則に適用すると、磁束密度の大きさ $B$ は、次のようになる。

$dB=\frac{μ_0}{4π}･\frac{Isinθ}{r^2}ds$

上の式の $r$ は、位置 ${\bf r}$ から導線上の微小距離 $ds$ までの距離である。したがって、 $r$ は $ds$ に依存する。だから、 $r$ と $ds$ を共通の変数をもつ形に変形して、積分できるようにしなければならない。

$θ$ は、位置 ${\bf r}$ と導線が、 $ds$ で交わるときにできる角度を表す。よって、導線上で $ds$ が動くと $θ$ も変化する。このことも考えると、 $ds$ を $dθ$ に変換して、さらに $r$ を $θ$ で表せば、ビオサバールの法則の式を問題なく積分できるようになる。

$r$ の変形

導線から距離 $a$ だけ離れている地点を考えるとき、その場所から $ds$ までの距離 $r$ を $θ$ を使って表すと、 $r=a\frac{1}{sinθ}$ となる。

$ds$ の変形

上図から、次の式が成り立つ。

$-s=a\frac{1}{tanθ}$

両辺を $θ$ で微分すると、

$ds=\frac{a}{sin^2θ}dθ$

積分の計算

以上で、積分を計算する準備は整った。これまでの結果を最初のビオサバールの法則の式に代入する。導線 $S$ の範囲( $-∞～∞$ )は、角度 $θ$ の範囲( $0～π$ )に対応することに気を付ける。

$\begin{eqnarray} B&=&\int dB\\&=&\int \frac{μ_0}{4π}･\frac{Isinθ}{r^2}ds\\&=&\frac{μ_0}{4π} \int_0^π Isinθ \left( \frac{sinθ}{a} \right)^2 \frac{a}{sin^2θ}dθ\\&=&\frac{μ_0I}{4πa}\int_0^π sinθ dθ\\&=&\frac{μ_0I}{4πa} \left[ -cosθ \right]_0^π\\&=&\frac{μ_0I}{4πa}(-cosπ+cos0)\\&=&\frac{μ_0I}{2πa} \end{eqnarray}$

以上で、電流 $I$ が流れている導線から距離 $a$ だけ離れた位置の磁束密度の大きさ $B$ が求められた。

磁束密度の向きについては、ビオサバールの法則に含まれる外積から求まる。

まとめ

・ビオサバールの法則を使えば、電流によって発生する磁束密度を計算できる。

・ビオサバールの法則の積分は、電流が流れる導線に沿って積分すればよい。

参考文献

・砂川重信(1987)『電磁気学 (物理テキストシリーズ 4)』,岩波書店.

ビオ・サバールの法則

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例題直線電流の周りの磁束密度

問題の見通し

$r$ の変形

$ds$ の変形

積分の計算

まとめ

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rrの変形

dsdsの変形

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