ビオ・サバールの法則

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ビオ・サバールの法則

ビオ・サバールの法則とは、位置\({\bf r}\)における、電流による磁束密度\({\bf B}\)を表す式である。この式はビオとサバールによって行われた実験によって求められたものである。

$$d{\bf B}=\frac{μ_0}{4π}・\frac{Id{\bf s}×{\bf r}}{r^3}$$

\(d{\bf s}\):電流が進む向きを表すベクトル \(I\):電流の強さ

位置\({\bf r}\)における磁束密度\({\bf B}\)を求めるには、上の式の両辺を積分すればよい。この式の右辺に含まれている微小量は\(d{\bf s}\)であるため、電流の通り道に沿って積分する

例題 直線電流の周りの磁束密度

問題の見通し

次のように、直線電流\(I\)の周りにできる磁束密度を求める。

この図から、回転対称性より、磁束密度は導線からの距離のみに依存することがわかる。ここでは、導線から距離\(a\)だけ離れた地点の磁束密度\({\bf B}\)を求める。

外積の大きさはsinを使って表せたことを思い出す。

$$|{\bf A}×{\bf B}|=|{\bf A}||{\bf B}|sinθ$$

参考:内積・外積の用途

この式をビオサバールの法則に適用すると、磁束密度の大きさ\(B\)は、次のようになる。

$$dB=\frac{μ_0}{4π}・\frac{Isinθ}{r^2}ds$$

上の式の\(r\)は、位置\({\bf r}\)から導線上の微小距離\(ds\)までの距離である。したがって、\(r\)は\(ds\)に依存する。だから、\(r\)と\(ds\)を共通の変数をもつ形に変形して、積分できるようにしなければならない。

\(θ\)は、位置\({\bf r}\)と導線が、\(ds\)で交わるときにできる角度を表す。よって、導線上で\(ds\)が動くと\(θ\)も変化する。このことも考えると、\(ds\)\(dθ\)に変換して、さらに\(r\)\(θ\)で表せば、ビオサバールの法則の式を問題なく積分できるようになる

\(r\)の変形

導線から距離\(a\)だけ離れている地点を考えるとき、その場所から\(ds\)までの距離\(r\)を\(θ\)を使って表すと、\(r=a\frac{1}{sinθ}\)となる。

\(ds\)の変形

上図から、次の式が成り立つ。

$$-s=a\frac{1}{tanθ}$$

両辺を\(θ\)で微分すると、

$$ds=\frac{a}{sin^2θ}dθ$$

積分の計算

以上で、積分を計算する準備は整った。これまでの結果を最初のビオサバールの法則の式に代入する。導線\(S\)の範囲(\(-∞~∞\))は、角度\(θ\)の範囲(\(0~π\))に対応することに気を付ける。

\begin{eqnarray} B&=&\int dB\\&=&\int \frac{μ_0}{4π}・\frac{Isinθ}{r^2}ds\\&=&\frac{μ_0}{4π} \int_0^π Isinθ \left( \frac{sinθ}{a} \right)^2 \frac{a}{sin^2θ}dθ\\&=&\frac{μ_0I}{4πa}\int_0^π sinθ dθ\\&=&\frac{μ_0I}{4πa} \left[ -cosθ \right]_0^π\\&=&\frac{μ_0I}{4πa}(-cosπ+cos0)\\&=&\frac{μ_0I}{2πa} \end{eqnarray}

以上で、電流\(I\)が流れている導線から距離\(a\)だけ離れた位置の磁束密度の大きさ\(B\)が求められた。

磁束密度の向きについては、ビオサバールの法則に含まれる外積から求まる。

まとめ

・ビオサバールの法則を使えば、電流によって発生する磁束密度を計算できる。

・ビオサバールの法則の積分は、電流が流れる導線に沿って積分すればよい。

参考文献

・砂川重信(1987)『電磁気学 (物理テキストシリーズ 4)』,岩波書店.

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