電磁ポテンシャルとゲージ変換の導出

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スカラーポテンシャル\(φ\)とベクトルポテンシャル\({\bf A}\)をまとめて電磁ポテンシャルと呼ぶ。

$${\bf E}(t,{\bf r})=-∇φ(t,{\bf r})-\frac{∂{\bf A}(t,{\bf r})}{∂t}$$
$${\bf B}(t,{\bf r})=∇×{\bf A}(t,{\bf r})$$

電場\({\bf E}(t,{\bf r})\)と磁束密度\({\bf B}(t,{\bf r})\)は、次のゲージ変換で不変である。

$${\bf A}→{\bf A}'(t,{\bf r})={\bf A}(t,{\bf r})+∇χ(t,{\bf r})$$
$$φ(t,{\bf r})→φ'(t,{\bf r})=φ(t,{\bf r})-\frac{∂}{∂t}χ(t,{\bf r})$$

参考:Maxwell方程式の微分系と積分系



ゲージ変換の求め方

任意のベクトル\({\bf A}(t,{\bf r})\)に対して常に次の式が成り立つ。

$$∇・(∇×{\bf A}(t,{\bf r}))=0$$

したがって、\({\bf B}(t,{\bf r})=∇×{\bf A}(t,{\bf r})\)とおけば、次のMaxwell方程式になる。

$$∇・{\bf B}=0$$

また、次の別のMaxwell方程式を考える。

$$∇×{\bf E}(t,{\bf r})+\frac{∂{\bf B}(t,{\bf r})}{∂t}=0$$

\({\bf B}=∇×{\bf A}\)を導入する。

$$∇× \left( {\bf E}+\frac{∂{\bf A}}{∂t} \right)=0$$

任意のスカラー\(φ\)に対して次の式が成り立つ。

$$∇×(∇φ)=0$$

$$∇× \left( {\bf E}+\frac{∂{\bf A}}{∂t} \right)=-∇×(∇φ)$$

左側にある\(rot\)を外すと、

$$ {\bf E}+\frac{∂{\bf A}}{∂t} =-∇φ$$

ゲージ変換による電場・磁束密度の変換

上のゲージ変換の2つの式を電場・磁束密度に代入する。

電場のゲージ変換

\begin{eqnarray} {\bf E}(t,{\bf r})&→&{\bf E}'(t,{\bf r})\\&=&-∇φ'(t,{\bf r})-\frac{∂{\bf A}'(t,{\bf r})}{∂t}\\&=&-∇ \left( φ-\frac{∂}{∂t}χ \right) -\frac{∂}{∂t} \left( {\bf A}+∇χ \right) \\&=&-∇φ+\frac{∂}{∂t}∇χ-\frac{∂{\bf A}}{∂t} -\frac{∂}{∂t}∇χ\\&=&-∇φ-\frac{∂{\bf A}}{∂t}\\&=&{\bf E}(t,{\bf r}) \end{eqnarray}

よって、電場はゲージ変換に対して不変である。

磁束密度のゲージ変換

\begin{eqnarray} {\bf B}(t,{\bf r})&→&{\bf B}'(t,{\bf r})\\&=&∇×{\bf A}'(t,{\bf r})\\&=&∇× \left( {\bf A}+∇χ \right)\\&=&∇×{\bf A}+∇×(∇χ)\\&=&∇×{\bf A}\\&=&{\bf B}(t,{\bf r}) \end{eqnarray}

よって、磁束密度はゲージ変換に対して不変である。

電磁ポテンシャルが満たす方程式

電荷密度\(ρ\)を含む方程式

次のMaxwell方程式に、電場\(E\)を電磁ポテンシャルで表したものを代入する。

$$∇・{\bf E}(t,{\bf r})=\frac{1}{ε_0}ρ$$
\begin{eqnarray} ∇・{\bf E}&=&∇・\left( -∇φ-\frac{∂{\bf A}}{∂t} \right) \\&=&-∇^2φ-\frac{∂}{∂t}∇・{\bf A}  \end{eqnarray}

以上より、ベクトルポテンシャルは次の方程式を満たす。

$$∇^2φ+\frac{∂}{∂t}∇・{\bf A}=-\frac{1}{ε_0}ρ$$

電流密度\({\bf j}\)を含む方程式

次のMaxwell方程式に、電場\(E\)と磁束密度\(B\)を電磁ポテンシャルで表したものを代入する。

$$∇×{\bf B}(t,{\bf r})-\frac{1}{c^2}\frac{∂}{∂t}{\bf E}(t,{\bf r})=μ_0{\bf j}(t,{\bf r})$$
\begin{eqnarray} ∇×{\bf B}-\frac{1}{c^2}\frac{∂}{∂t}{\bf E}&=&∇×(∇×{\bf A})-\frac{1}{c^2}\frac{∂}{∂t} \left( -∇φ-\frac{∂{\bf A}}{∂t} \right)\\&=&(∇(∇・{\bf A})-∇^2{\bf A})-\frac{1}{c^2}\frac{∂}{∂t} \left( -∇φ-\frac{∂{\bf A}}{∂t} \right)\\&=&-\left( ∇^2-\frac{1}{c^2}\frac{∂^2}{∂t^2} \right){\bf A}+∇ \left( ∇・{\bf A}+\frac{1}{c^2}\frac{∂}{∂t}φ \right) \end{eqnarray}

以上より、電磁ポテンシャルは次の方程式を満たす。

$$\left( ∇^2-\frac{1}{c^2}\frac{∂^2}{∂t^2} \right){\bf A}(t,{\bf r})-∇ \left( ∇・{\bf A}(t,{\bf r})+\frac{1}{c^2}\frac{∂}{∂t}φ(t,{\bf r}) \right)=-μ_0{\bf j}(t,{\bf r})$$
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まとめ

・電磁ポテンシャルとゲージ変換がどう表されるか確認した。

・電磁ポテンシャルが満たす方程式を、Maxwell方程式をもとに導出した。

参考文献

・砂川重信(1987)『電磁気学 物理テキストシリーズ4』,岩波書店.

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