力学

速度に比例する空気抵抗の例は意外と身近に存在するが、その一つが雨粒である。今回は、比較的簡単な速度に比例する空気抵抗を見てみる。

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調和振動子とは、単振動をする系のことである。

$$f=-kx$$

調和振動子のポテンシャルエネルギーは、次のように与えられる。

$$V(x)=\frac{1}{2}mω^2x^2$$

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原点に向かって変位\(x\)に比例する大きさの力\(f\)が物体に働いている。

$$f=-kx$$

このような力による運動を単振動(調和振動)という。さらに単振動をする系を調和振動子という。

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ケプラーの法則とは、惑星の運動に関する法則である。この法則を使いこなせるようになれば、惑星の運動を簡単に考えることができる。そして、これについて考えるには2次元の極座標の運動方程式を導入するのが一番手っ取り早い。この記事では、ケプラーの法則の紹介と、その証明を行う。

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質量\(m\)の粒子と質量\(M\)の粒子間に働く万有引力は、物体間の距離が\(r\)のとき、次のように表される。

$$f(r)=-G\frac{mM}{r^2}$$

\(G=6.672×10^{-11}[N･m^2/kg^2]\):万有引力定数

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円運動と向心力・遠心力を理解するためには、観測者の状態による見かけ上の力を理解する必要がある。向心力は、物体が円運動をするために必要な力で、実際に物体に働いている。一方遠心力は、観測者が物体と一緒に円運動しているときに考えるもので、実際に物体には働いていない見かけ上の力である。

向心力と遠心力の向きは正反対で、その大きさは同じである。その大きさを\(F\)とすると、次の式が成り立つ。

$$F=mrω^2=m\frac{v^{2}}{r}$$

\(m\):質量　\(r\):軌道の半径　\(ω\):角速度[rad/s]　\(v\):物体の速度[m/s]

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慣性モーメントとは

静止した物体が動いたり、加速度運動したりするためにはエネルギーが必要である。それと同じように、静止した物体が回転するときもエネルギーを必要とするはずである。そのエネルギーを求めるためには、回転軸に対する物体の回転しにくさを表す物理量が必要だ。この回転しにくさを慣性モーメントという。力に対する物体の動きにくさを表す指標が「質量」としたら、その回転バージョンが「慣性モーメント」である。

この慣性モーメント\(I_{j}\)は、質点\(m_{j}\)から回転軸までの距離を\(r_{j}\)とすると、次のように表せる。

$$I_j=m_{j}r_{j}^{2}$$

物体は質点の塊だから、上の式を物体全体を積分範囲として積分すれば、慣性モーメント\(I\)が求まる。

さらに、この慣性モーメント\(I\)と剛体の角速度\(ω\)を使って、物体の回転による運動エネルギー\(K\)を表すことができる。

$$K=\frac{1}{2}I\omega^{2}$$

この式は、質量mの物体が速度vで動いているときの運動エネルギーEの式\(E=\frac{1}{2}mv^{2}\)と比較すれば覚えやすい。

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