調和振動子のエネルギーとハミルトニアンの導出

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調和振動子とは、単振動をする系のことである。

$$f=-kx$$

調和振動子のポテンシャルエネルギーは、次のように与えられる。

$$V(x)=\frac{1}{2}mω^2x^2$$



単振動の復習

簡単に単振動の復習をする。

ばねのつり合いの位置を原点とする。時刻\(t=0\)に位置\(x_0\)で手を離すと、物体の軌跡\(x(t)\)と角速度\(ω\)は次のように表される。

$$x(t)=x_0cosωt$$

$$ω=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

参考:単振動する物体の軌跡

ポテンシャルエネルギーの導出

ポテンシャルエネルギー\(V(x)\)は、力\(f(x)\)を距離で積分することで定義された。

$$V(x)=-\int f(x) dx$$

ばねの変位がxのときのポテンシャルエネルギーは、次のようにして計算される。

\begin{eqnarray} V(x)&=&-\int_0^x (-kx) dx\\&=&k \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^x\\&=&\frac{1}{2}kx^2 \end{eqnarray}

\(ω=\sqrt{\frac{k}{m}}\)を\(k\)について解くと、

$$k=mω^2$$

後はこの\(k\)をポテンシャルエネルギーに代入すればよい。

$$V(x)=\frac{1}{2}mω^2x^2$$

調和振動子のハミルトニアン

ハミルトニアン\(H\)とは、系全体が含むエネルギーのことである。今考えている系のハミルトニアンは、運動エネルギー\(T\)とポテンシャルエネルギー\(V\)の和となる。

\begin{eqnarray} H&=&T+V\\&=&\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}mω^2x^2\\&=&\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}mω^2x^2 \end{eqnarray}

ハミルトニアン中の運動エネルギーでは、速度\(v\)ではなく運動量\(p=mv\)を使うことが多い。

ハミルトニアンについて、詳しくは次の記事を参照のこと。下の記事では、ハミルトニアンの定義や、ハミルトニアンを運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和とみなせる理由が書いてある。

参考:解析力学におけるハミルトニアンの意味

参考文献

・長谷川修司(2009)『講談社基礎物理学シリーズ2 振動・波動』,講談社.

・戸田盛和(1982)『力学〔物理入門コース1〕』,岩波書店.

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