ブラケットベクトルと消滅演算子・生成演算子の関係まとめ

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消滅演算子$\hat{a}$は固有値を1つ下げ、生成演算子$\hat{a}^†$は固有値を1つ上げる性質をもつ。この記事では、下の7つの式の導出と、それらが意味することの確認を行う。

$$\hat{n}\hat{a}φ_n=(n-1)\hat{a}φ_n・・・(1)$$

$$\hat{n}\hat{a}^†φ_n=(n+1)\hat{a}^†φ_n・・・(2)$$

$$\hat{a}|0>=0・・・(3)$$

$$\hat{n}|n>=n|n>・・・(4)$$

$$\hat{a}^†|n>=\sqrt{n+1}|n+1>・・・(5)$$

$$\hat{a}|n>=\sqrt{n}|n-1>・・・(6)$$

$$<m|n>=δ_{mn}・・・(7)$$

参考:ブラベクトル・ケットベクトルの意味とは

参考:消滅演算子・生成演算子

式(1)について

$$\hat{n}\hat{a}φ_n=(n-1)\hat{a}φ_n$$

式(1)の導出

交換関係より、

$$[\hat{n},\hat{a}]=\hat{n}\hat{a}-\hat{a}\hat{n}$$

また、前の記事でこの交換関係の値を求めた。

$$[\hat{n},\hat{a}]=-\hat{a}$$

参考:消滅演算子・生成演算子の交換関係

これらの式から式(1)を導出する。

\begin{eqnarray} \hat{n}\hat{a}φ_n&=&([\hat{n},\hat{a}]+\hat{a}\hat{n})φ_n\\&=&(-\hat{a}+\hat{a}\hat{n})φ_n \end{eqnarray}

ここで、数演算子$\hat{n}$の固有値を$n$とする。

$$\hat{n}φ_n=nφ_n$$

演算子は交換関係が0にならないことがあるため、むやみに$\hat{a}\hat{n}$を$\hat{n}\hat{a}$に置き換えたりできない。だから、固有方程式を使って演算子を固有値という数値に変換することで、$\hat{a}$と$n$を入れ替えることができるようにする。

これを使って導出を進めると、式(1)が導出される。

\begin{eqnarray} \hat{n}\hat{a}φ_n&=&(-\hat{a}+\hat{a}\hat{n})φ_n\\&=&(-\hat{a}+\hat{a}n)φ_n\\&=&(-\hat{a}+n\hat{a})φ_n\\&=&(n-1)\hat{a}φ_n \end{eqnarray}

式(1)の意味

式(1)の$\hat{a}φ_n$をまとめて1つの固有関数として見ると、$\hat{n}$が固有方程式の演算子、$n$が固有値とみなせる。ところが、$\hat{n}φ_n=nφ_n$から、$\hat{n}$は元々は固有値$n$に対する演算子であった。

以上のことから、消滅演算子$\hat{a}$は固有関数に作用することで、数演算子$\hat{n}$の固有値を1下げる性質をもつ。

固有関数$φ_n$が固有ベクトル$|λ>$になっても同じように議論ができる。

式(2)について

$$\hat{n}\hat{a}^†φ_n=(n+1)\hat{a}^†φ_n$$

式(2)の導出

式(1)と同様に考えればよい。

\begin{eqnarray} \hat{n}\hat{a}^†φ_n&=&([\hat{n},\hat{a}^†]+\hat{a}^†\hat{n})φ_n\\&=&(\hat{a}^†+\hat{a}^†\hat{n})φ_n\\&=&(\hat{a}^†+\hat{a}^†n)φ_n\\&=&(n+1)\hat{a}^†φ_n \end{eqnarray}

式(2)の意味

式(2)の$\hat{a}^†φ_n$をまとめて1つの固有関数として見ると、$\hat{n}$が固有方程式の演算子、$n$が固有値とみなせる。

以上のことから、生成演算子$\hat{a}^†$は固有関数に作用することで、数演算子$\hat{n}$の固有値を1上げる性質をもつ。

式(3)

$$\hat{a}|0>=0$$

式(3)の導出

$\hat{a}$と$\hat{a}^†$は、$\hat{x}=\hat{x}^†$・$\hat{p}=\hat{p}^†$よりエルミートの関係だから、

\begin{eqnarray} \hat{n}^†&=&(\hat{a}^†\hat{a})^†\\&=&\hat{a}^†\hat{a}\\&=&\hat{n} \end{eqnarray}

よって、$\hat{n}$はエルミートである。

ここで、$\hat{n}$の期待値は次のように求められた。

$$<φ|\hat{n}|φ>=<φ|\hat{a}^†\hat{a}|φ>$$

参考:量子力学における期待値の求め方

この式より$<φ|\hat{n}|φ>$は$\hat{a}|φ>$のノルムを表しているから、$\hat{n}$の期待値は0か正のどちらかになるはずである。以上から、$\hat{n}$は非負定値となり、その固有値はすべて0か正となる。$\hat{n}$のような性質を非負定値エルミートと呼ぶ。

$n$を演算子$\hat{n}$に対応する最小の固有値とする。これに対応する固有ベクトルを$|0>$とおく。

$$\hat{n}|0>=n|0>$$

両辺の$|0>$の前に消滅演算子$\hat{a}$を作用させる。

$$\hat{n}\hat{a}|0>=n\hat{a}|0>・・・(8)$$

ここで式(1)より、消滅演算子$\hat{a}$は固有ベクトルに作用することで固有値を1つ下げる性質を持っていた。よって、もし$\hat{a}|0>=0$でなかったら、固有値$n$よりも低くてかつ固有方程式(8)を満たす固有値$(n-1)$が存在することになる。これは$n$を最小の固有値とした仮定と矛盾する。

したがって、$\hat{a}|0>=0$が求められた。

式(3)の意味

導出中の定義より、$|0>$は最もエネルギーが低い状態(基底状態)を表している。この基底状態に消滅演算子を作用させると0になってしまう。

式(4)について

$$\hat{n}|n>=n|n>$$

式(4)の導出

これ以降、$|0>$は次の規格化条件を満たすとする。

$$<0|0>=1$$

$|n>$を次のように定義する。ただし、$n=0,1,2,…$

$$|n>=\frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}^†)^n|0>$$

式(3)より、

\begin{eqnarray} \hat{n}|0>&=&\hat{a}^†\hat{a}|0>\\&=&\hat{a}^†･0\\&=&0 \\&=&0|0>\end{eqnarray}

この式から、固有ベクトル$|0>$に対する数演算子$\hat{n}$の固有値は$0$である。

次に、固有ベクトル$|0>$に生成演算子$\hat{a}^†$を$n$回作用させた場合を考える。生成演算子を作用させるたびに固有値が1上がることを考慮すると、固有値は$n$になる。

以上から、固有値$n$と固有ベクトル$|n>$の$n$の値が対応することが明らかになった。

$$\hat{n}|n>=n|n>$$

式(4)の意味

固有値$n$と固有ベクトル$|n>$で、$n$の値は等しくなっている。

式(5)について

$$\hat{a}^†|n>=\sqrt{n+1}|n+1>$$

式(5)の導出

\begin{eqnarray} \hat{a}^†|n>&=&\hat{a}^†\frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}^†)^n|0>\\&=&\sqrt{n+1}\frac{1}{\sqrt{n+1}}\frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}^†)^{n+1}|0>\\&=&\sqrt{n+1}\frac{1}{\sqrt{(n+1)!}}(\hat{a}^†)^{n+1}|0>\\&=&\sqrt{n+1}|n+1> \end{eqnarray}

式(5)の意味

生成演算子$\hat{a}^†$を固有ベクトルに作用させると、固有ベクトルの中の値が1増える。

式(6)について

$$\hat{a}|n>=\sqrt{n}|n-1>$$

式(6)の導出

式(5)で、$n$を$n-1$とおく。

$$\hat{a}^†|n-1>=\sqrt{n}|n>$$

この式の両辺に消滅演算子$\hat{a}$を左から作用させる。

$$ \hat{a}\hat{a}^†|n-1>=\sqrt{n}\hat{a}|n>$$

この式の左辺を交換関係を使って計算する。

\begin{eqnarray} \hat{a}\hat{a}^†|n-1>&=&([\hat{a},\hat{a}^†]+\hat{a}^†\hat{a})|n-1>\\&=&(1+\hat{n})|n-1>\\&=&n|n-1> \end{eqnarray}

式を整理すると、式(6)が求められる。

式(6)の意味

消滅演算子$\hat{a}$を固有ベクトルに作用させると、固有ベクトルの中の値が1減る。

式(7)について

$$<m|n>=δ_{mn}$$

式(7)の導出

式(6)の両辺のノルムをとる。

$$<n|\hat{a}^†\hat{a}|n>=n<n-1|n-1>$$

この式の左辺は、数演算子$\hat{n}$を含むから、

\begin{eqnarray} <n|\hat{a}^†\hat{a}|n>&=&<n|\hat{n}|n>\\&=&<n|n|n>\\&=&n<n|n> \end{eqnarray}

したがって、

$$<n|n>=<n-1|n-1>$$

この式から、$<n|n>$は$n$の値にかかわらず同じ値になる。式(4)の導出中に、$|0>$は規格化条件$<0|0>=1$を満たすと仮定したから、

$$<n|n>=<0|0>=1$$

もし$m≠n$ならば、$|m>$と$|n>$は$\hat{n}$に対して異なる固有値を持つ。したがって、$<m|n>=0$

参考文献

・猪木慶治・川合光(1994)『量子力学I』,講談社.

・A.メシア(1972)『メシア量子力学 2』(小出昭一郎・田村二郎訳),東京図書株式会社.

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