解析力学によるエネルギー保存則の導出

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エネルギー保存則とは運動エネルギー\(T\)とポテンシャルエネルギー\(V\)の和が一定になるというものであった。この記事では、ラグランジアンを使って、解析力学的にこの法則を証明する。

この記事を読む前に、下の記事を読んでおくことを強くおすすめする。ラグランジアンやラグランジュ方程式の導出が載っている。

参考:ラグランジュ運動方程式の導出



前提知識

ラグランジアン\(L\)の定義

$$L≡T-V$$

ラグランジュ運動方程式

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\right)-\frac{∂L}{∂q_i}=0$$

エネルギー保存則の導出

ラグランジアンの時間微分

エネルギー保存則とはエネルギーの和が時間変化しないことだから、\(L\)の時間微分を考えれば見通しがよくなりそうだ。

ラグランジュ運動方程式の導出より、運動エネルギー\(T\)は速度\(\dot{q}_i\)と位置\(q_i\)、ポテンシャルエネルギーは位置\(q_i\)に依存するから、ラグランジアンは\(\dot{q}_i,q_i\)両方に依存する関数だといえる。ラグランジアン\(L\)が直接時刻\(t\)を含まない場合、\(L\)は次のように表現できる。

$$L=L(q_1,\cdots,q_n,\dot{q_1},\cdots,\dot{q_n})$$

変数\(\dot{q}_i,q_i\)は、どちらも時間\(t\)にのみ依存する。この\(L\)を、合成関数の微分を使って時間微分してみる。

\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{dL}{dt}&=&\sum_{i=1}^n\frac{∂L}{∂q_i}\frac{dq_i}{dt}+\sum_{i=1}^n\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\frac{d\dot{q}_i}{dt}\\&=&\sum_{i=1}^n\left(\frac{∂L}{∂q_i}\dot{q}_i+\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\ddot{q}_i\right)・・・(1)\end{eqnarray}

ラグランジュ運動方程式と時間微分

ラグランジュ運動方程式の片方の項を移項して、次の式を得る。

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\right)=\frac{∂L}{∂q_i}$$

これを式(1)に代入して変形する。

\begin{eqnarray}\frac{dL}{dt}&=&\sum_{i=1}^n\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\right)\dot{q}_i+\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\frac{d\dot{q}_i}{dt}\right]\\&=&\sum_{i=1}^n\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\dot{q}_i\right)\right]\\&=&\frac{d}{dt}\sum_{i=1}^n\left(\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\dot{q}_i\right)\end{eqnarray}

この式の左辺を右辺に移項する。

$$\frac{d}{dt}\left[\sum_{i=1}^n\left(\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\dot{q}_i\right)-L\right]=0$$

上の式は、カッコの中が時間\(t\)に依存しないことを意味する。つまり、このカッコ内を、時間に依存しない定数とみなすことができる。ここでは\(E\)とおくことにする。

$$\sum_{i=1}^n\left(\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\dot{q}_i\right)-L=E・・・(2)$$

エネルギー保存則の導出

今求めたい式は\(T+V=(定数)\)だから、式(2)をエネルギー\(T,V\)で表さなければならない。だから、式(2)にラグランジアンの定義式\(L=T-V\)を代入する。

$$\sum_{i=1}^n\left(\frac{∂T}{∂\dot{q}_i}\dot{q}_i-\frac{∂V}{∂\dot{q}_i}\dot{q}_i\right)-(T-V)=E・・・(3)$$

ポテンシャルエネルギー\(V\)は速度\(\dot{q}_i\)を含まないから、

$$\frac{∂V}{∂\dot{q}_i}=0$$

また、運動エネルギーは\(\displaystyle T≡\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i\dot{q}_i^2\)で定義されたから、\(T\)を\(\dot{q}_i\)で微分すると、

$$\sum_{i=1}^n\frac{∂T}{∂\dot{q}_i}=\sum_{i=1}^nm_i\dot{q}_i$$

上の2式を、式(3)の左辺に代入する。

\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n\left(\frac{∂T}{∂\dot{q}_i}\dot{q}_i-\frac{∂V}{∂\dot{q}_i}\dot{q}_i\right)-(T-V)&=&\sum_{i=1}^n\left(m_i\dot{q}_i^2-0\right)-(T-V)\\&=&2\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{2}m_i\dot{q}_i^2\right)-(T-V)\\&=&2T-(T-V)\\&=&T+V\end{eqnarray}

式(3)の右辺を合わせると、

$$T+V=E$$

以上より、運動エネルギー\(T\)とポテンシャルエネルギー\(V\)は時間によらず一定という、エネルギー保存則が求まった。

まとめ

・エネルギー保存則を、ラグランジアンを使って解析力学的に導出した。

参考文献

・小出昭一郎(1983)『解析力学』,岩波書店.

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