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電位とは

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[mathjax]

電荷には、電場を発生させる能力がある。そして、重力ポテンシャルと同様にして、電場によるポテンシャルも考えることができる。このポテンシャルのことを電位と呼ぶ。

この記事では、電位をポテンシャルエネルギーの式から求めてみる。

電位の定義

ここからは簡単のために、一次元の場合を考える。

冒頭にも言った通り、電場のポテンシャルのことを電位(静電ポテンシャル)とよぶ。電位は通常\(φ\)で表される。

力\(F\)とポテンシャルエネルギー\(U\)の間には、次の関係が成り立つ。

$$F(r)=-\frac{dU}{dr}$$

上の式の力\(F(r)\)を電場\(E(r)\)、ポテンシャルエネルギー\(U\)を電位\(φ\)にそれぞれ書き直せば、電場と電位の関係式が求まる。

$$E(r)=-\frac{dφ}{dr}･･･(1)$$

この式が電位\(φ\)の定義式となる。電位の単位はボルト\(V\)である。ちなみにこの式(1)を三次元に拡張すると、次のようになる。

$${\bf E}({\bf r})=-∇φ({\bf r})$$

電位と電場の積分

式(1)の両辺を位置\(r\)で積分してみる。

$$φ(r)=-\int E(r)dr･･･(2)$$

点電荷による電位

点電荷\(q\)から距離\(R\)離れた場所の電位を考える。

復習になるが、点電荷\(q\)の周りの電場\(E(r)\)は次のように表された。

$$E(r)=\frac{1}{4πε_0}\frac{q}{r^2}$$

参考:電場をクーロン力の式から定義する

そして、この電場を式(2)に代入する。

積分範囲について

式(2)より、電位\(φ\)を求めるためには、電場\(E\)を位置\(r\)で積分しなければならない。ただし、電場の式には\(r^{-2}\)が含まれているため、これを\(r\)で積分すると電位の式に\(r^{-1}\)が出てきてしまう。もし電場\(E\)を\(0\)から\(R\)の範囲で積分すると、下のように分母に0に代入することになるため、この積分範囲は不適切である。

\begin{eqnarray}φ(r)&=&-\int E(r)dr\\&=&-\int_0^R \frac{1}{4πε_0}\frac{q}{r^2}dr\\&=&-\frac{q}{4πε_0}\int_0^R \frac{1}{r^2}dr\\&=&-\frac{q}{4πε_0}\left[-\frac{1}{r}\right]_0^R\\&=&-\frac{q}{4πε_0}\left(-\frac{1}{R}+\frac{1}{0}\right)\\&&この式は不適切である\end{eqnarray}

分母に0を代入しないようにするには、積分範囲を変える必要がある。そのために、点電荷から無限に離れた場所の電位を0と定義する。これで、積分範囲を\(∞\)から\(R\)に変更すれば、問題なく積分ができる。

\begin{eqnarray}φ(r)&=&-\int E(r)dr\\&=&-\frac{q}{4πε_0}\int_∞^R \frac{1}{r^2}dr\\&=&-\frac{q}{4πε_0}\left[-\frac{1}{r}\right]_∞^R\\&=&-\frac{q}{4πε_0}\left(-\frac{1}{R}+0\right)\\&=&\frac{q}{4πε_0}\frac{1}{R}\end{eqnarray}

まとめ

・電位を、電場のポテンシャルと定義した。

・点電荷による電位を考えることで、無限遠の電位を0にする理由を考察した。

参考文献

・伊東敏雄(2008)『朝倉物理学選書2 電磁気学』,朝倉書店.

・砂川重信(1987)『物理テキストシリーズ4 電磁気学』,岩波書店.

・砂川重信(1988)『電磁気学 ―初めて学ぶ人のために―』,培風館.

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