2×2行列式は、次のように表される。
$$\left[\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{array}\right]=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$$
3×3行列式は、次のように表される。
$$\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{array}\right]\\=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{23}a_{12}\\-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$$
ここまでは暗記できるが、4×4からは正攻法で考えるしかない。今回は、1行目の要素に注目して行列式を求める。
$$\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\ \end{array}\right]\\=a_{11}\left[\begin{array}{ccc}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{array}\right]-a_{12}\left[\begin{array}{ccc}a_{21}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}\\\end{array}\right]\\+a_{13}\left[\begin{array}{ccc}a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}\\\end{array}\right]-a_{14}\left[\begin{array}{ccc}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}\\\end{array}\right]$$
上の4×4の行列式の右辺の項の符号について、最初に置く\(a\)の行と列の数の和が偶数ならば正、奇数ならば負と覚えればいい。例えば、右辺の第一項のaは、\(a_{11}\)である。行と列の数の和は1+1=2で偶数だから、第一項の符号は正である。一方第二項のaは、\(a_{12}\)で、行と列の数の和は1+2=3の奇数だから、第二項の符号は負である。このように覚えておけば、5×5の行列式や、2行目以降の要素に注目して行列式を求めるときにも応用が利く。
参考文献
矢野健太郎・石原繁(2009)『線形代数』,裳華房
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