フーリエ変換

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フーリエ変換

$$F(k)=\int_{-∞}^{∞} f(x)e^{-ikx} dx$$

逆フーリエ変換

$$f(x)=\frac{1}{2π}\int_{-∞}^{∞} F(k)e^{ikx} dk$$

波が関数\(f(x)\)で与えられるとする。それをフーリエ変換すると、波\(f(x)\)を波数\(k\)の関数\(F(k)\)として表すことができる。\(F(k)\)は、\(f(x)\)に含まれる波を波数\(k\)ごとに分解して、それぞれの波の大きさを関数として表したものである。フーリエ変換すれば波\(f(x)\)を\(F(k)\)に変換できるし、逆フーリエ変換すれば\(F(k)\)を波\(f(x)\)に変形できる。



公式の覚え方

フーリエ変換は関数\(f(x)\)から変数\(x\)を追い出して\(F(k)\)を求める変換である。だから、フーリエ変換の公式では\(f(x)\)を\(dx\)で積分している。

逆フーリエ変換も同様に考える。これは、関数\(F(k)\)から変数\(k\)を追い出して\(f(x)\)を求める変換である。だから、逆フーリエ変換の公式では\(F(k)\)を\(dk\)で積分している。

フーリエ級数展開とフーリエ変換の違い

フーリエ級数展開は、波\(f(x)\)が周期的な関数のみ使えるものである。一方フーリエ変換は、波\(f(x)\)が周期性を持たない関数に使う。上の公式を見てもわかる通り、フーリエ変換の公式には、フーリエ級数展開の公式と違い、周期\(L\)が含まれていない。

また、フーリエ級数展開は展開後、波\(f(x)\)を正弦波の重ね合わせで表す。一方フーリエ変換は、\(F(k)\)を求めることで、波\(f(x)\)はどんな波数\(k\)の波を含むかや、\(f(x)\)に含まれる波数\(k\)の波の大きさがわかる。\(F(k)\)が連続ならば、このときの\(F(k)\)を連続スペクトルという。また\(F(k)\)が離散的ならば、このときの\(F(k)\)を離散スペクトルという。

例題

問題:次の関数をフーリエ変換せよ

$$\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases} 1 & (-2<x<5)  \\ 0 & (x<-2,5<x) \end{cases} \end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray} F(k)&=&\int_{-∞}^{∞} f(x)e^{-ikx} dx \\ &=&\int_{-∞}^{-2} 0・e^{-ikx} dx+\int_{-2}^{5} 1・e^{-ikx} dx+\int_{5}^{∞} 0・e^{-ikx} dx \\ &=&0+\left[ -\frac{1}{ik}e^{-ikx} \right]_{-2}^{5}+0 \\ &=& -\frac{i}{i^{2}k}(e^{-i・5k}-e^{+i・2k}) \\ &=&\frac{i}{k}\left[ cos(+5k)-isin(+5k)-\{cos(2k)+isin(2k)\}\right] \\ &=&\frac{i}{k}\left[ cos(5k)-cos(2k)-i\{sin(5k)+sin(2k)\}\right] \\ &=&\frac{1}{k}\left[ sin(5k)+sin(2k)+i\{cos(5k)-cos(2k)\}\right] \end{eqnarray}$$
ここで、4行目から5行目の変形のときに、オイラー公式を使った。
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テレビの白色の光をフーリエ変換すると

前に書いたフーリエ級数展開の記事では、テレビの白色光をフーリエ級数展開すれば光の三原色を表す波が求まると書いた。では、もし代わりにフーリエ変換するとどうなるだろうか。

上の図は、テレビの白色光をフーリエ変換したときの結果の予想である。この図のように、赤・青・緑色を表す波数の周りの領域だけ大きなピークができるが、他の領域ではピークは存在しないだろう。赤い光ほど波長が長くなるため、波数\(k\)は小さくなるはずである。青い光は赤い光と逆で、波数\(k\)は大きくなる。

参考文献

・馬場敬之(2016)『スバラシク実力がつくと評判の演習 フーリエ解析 キャンパス・ゼミ』,マセマ出版社.

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