力のモーメントと角運動量の関係

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従来の運動量\({\bf p}=m{\bf v}\)は、物体の並進運動の勢いや激しさを表していた。これの回転運動バージョンが角運動量である。つまり角運動量\({\bf L}\)とは、回転軸に対する回転運動の勢いや激しさを表すパラメータである。

$${\bf L} \equiv {\bf r}×{\bf p}$$

力のモーメント\({\bf N}\)とは、回転軸に対して物体を回転させようとする力の大きさを表す。トルクと呼ばれることもある。

$${\bf N} \equiv {\bf r}×{\bf F}$$

角運動量ベクトル\({\bf L}\)と力のモーメントのベクトル\({\bf N}\)の関係は次の通りになる。

$$\frac{d{\bf L}}{dt}={\bf N}$$

この記事では、2次元平面と3次元空間でこの\({\bf L}\)と\({\bf N}\)の関係式が成り立つことを示す。



二次元平面での角運動量と力のモーメントの関係

\(xy\)平面上の運動方程式は、次の2つである。

$$m\frac{dv_x}{dt}=F_x$$$$m\frac{dv_y}{dt}=F_y$$

\(x\)軸方向の方程式の両辺には\(y\)、\(y\)軸方向の方程式の両辺には\(x\)をそれぞれにかける。

$$my\frac{dv_x}{dt}=yF_x・・・(1)$$$$mx\frac{dv_y}{dt}=xF_y・・・(2)$$

式(2)の両辺から式(1)を引く。

$$m \left( x\frac{dv_y}{dt}-y\frac{dv_x}{dt} \right) =xF_y-yF_x・・・(3) $$

式(3)の左辺について、\(L≡m\left( xv_y-yv_x \right)\)とおくと、

\begin{eqnarray} m \left( x\frac{dv_y}{dt}-y\frac{dv_x}{dt} \right)&=&m \left( v_xv_y+x\frac{dv_y}{dt}-v_xv_y-y\frac{dv_x}{dt} \right)\\&=&m \left( \frac{dx}{dt}v_y+x\frac{dv_y}{dt}-v_x\frac{dy}{dt}-y\frac{dv_x}{dt} \right)\\&=&m \frac{d}{dt} \left( xv_y-yv_x \right)\\&=&\frac{dL}{dt} \end{eqnarray}

式(3)の右辺について、次のように\(N\)をおく。

$$N≡xF_y-yF_x$$

以上より、式(3)は次のように書き直せる。

$$\frac{dL}{dt}=N$$

この式が、二次元平面における角運動量と力のモーメントの関係である。

三次元空間での角運動量と力のモーメントの関係

三次元でも全く同じ議論をする。

$$m\frac{dv_x}{dt}=F_x$$

$$m\frac{dv_y}{dt}=F_y$$

$$m\frac{dv_z}{dt}=F_z$$

これらの運動方程式を、二次元のときと同様に組み合わせて、次の式を立てる。

$$m\frac{d}{dt}(yv_z-zv_y)=yF_z-zF_y・・・(4)$$$$m\frac{d}{dt}(zv_x-xv_z)=zF_x-xF_z・・・(5)$$$$m\frac{d}{dt}(xv_y-yv_x)=xF_y-yF_x・・・(6)$$

次のように\(L_i\)と\(N_i\)(i=x,y,z)を定義する。

$$L_x=m(yv_z-zv_y)・・・(7)$$$$L_y=m(zv_x-xv_z)・・・(8)$$$$L_z=m(xv_y-yv_x)・・・(9)$$

$$N_x=yF_z-zF_y・・・(10)$$$$N_y=zF_x-xF_z・・・(11)$$$$N_z=xF_y-yF_x・・・(12)$$

これら6つの式と角運動量ベクトル\({\bf L}\)と力のモーメントのベクトル\({\bf N}\)を使って式(4)(5)(6)をまとめると、次の式を得る。

$$\frac{d{\bf L}}{dt}={\bf N}$$

これで、両ベクトルの関係式が求められた。

角運動量ベクトルと力のモーメントのベクトルの定義について

角運動量ベクトル\({\bf L}\)

運動量\(p=mv\)に注意すると、式(7)(8)(9)は次のように書き換えられる。

$$L_x=yp_z-zp_y・・・(7′)$$$$L_y=zp_x-xp_z・・・(8′)$$$$L_z=xp_y-yp_x・・・(9′)$$

これらの式は、外積\({\bf L}={\bf r}×{\bf p}\)の定義に他ならない。

したがって、角運動量ベクトル\({\bf L}\)は、位置ベクトル\({\bf r}\)と運動量ベクトル\({\bf p}\)の外積で定義される。

力のモーメントのベクトル\({\bf N}\)

式(10)(11)(12)は、外積\({\bf N}={\bf r}×{\bf F}\)の定義に他ならない。

したがって、力のモーメントのベクトル\({\bf N}\)は、位置ベクトル\({\bf r}\)と力のベクトル\({\bf F}\)の外積で定義される。

参考文献

・戸田盛和(1982)『力学〔物理入門コース1〕』,岩波書店.

・矢野健太郎・石原繁(2012)『線形代数(改訂改題)』,裳華房.

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