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フーリエ級数展開

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フーリエ級数展開とフーリエ変換は、名前は似ているが全く異なるものを指す。今回は、フーリエ級数展開の話を進める。

フーリエ級数展開とは、周期的な関数\(f(x)\)をsinやcosの和で表す動作のことである。この式は、周期\(L\)を使って次のように表せる。

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{∞} \left[ {a_{n}cos(\frac{2πnx}{L})}+b_{n}sin(\frac{2πnx}{L}) \right]$$

$$a_0=\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2} f(x) dx$$

$$a_n=\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2} f(x)cos(\frac{2πnx}{L}) dx$$

$$b_n=\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2} f(x)sin(\frac{2πnx}{L}) dx$$

たまに\(\frac{a_0}{2}\)を\(a_0\)と書く本もあるため、かなりややこしいことになっている。この差は、「\(\frac{1}{2}\)は定数だから、同じく定数である\(a_0\)とまとめれば見栄えが良くなる」という意味しかない。事実、f(x)の展開後の第一項を単に\(a_0\)と書いてある本では、\(a_0\)を求める公式は次のようになっているはずだ。

$$a_0=\frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2} f(x) dx　　(a_0と\frac{a_0}{2}をまとめた場合)$$

もし\(\frac{a_0}{2}\)の方で覚えておけば、「\(a_0\)も\(a_n\)も\(b_n\)も、公式の右辺には全部最初に\(\frac{2}{L}\)がつく」と覚えられるため、公式を思い出しやすくなる。よって、管理人は一番上の式ように\(\frac{a_0}{2}\)で覚えることをおすすめする。

例題

ここでは、大学でフーリエ解析の授業をとっているならば、演習などで必ず触れているであろう基本的な問題を解く。

問題：周期2πで、次のような関数f(x)をフーリエ級数展開しなさい

$$\begin{eqnarray} f(x)= \begin{cases} -1 & (-π<x<0) \\ 1 & (0<x<π) \end{cases} \end{eqnarray}$$

まず、上の公式に沿って、\(L=2π\)を代入して、\(a_0\)を求める。

\begin{eqnarray}a_0&=&\frac{2}{2π}\int_{-π}^{π}f(x) dx\\&=&\frac{1}{π} \left[ \int_{-π}^{0}(-1) dx+\int_{0}^{π}(+1) dx \right]\\&=&\frac{1}{π}(-π+π)\\&=&0\end{eqnarray}

次に、\(a_n\)の計算…と行きたいところだが、今、\(f(x)\)は\(f(x)=-f(-x)\)を満たすので奇関数である。よって、\(f(x)\)は偶関数を含まない。そして、\(a_n\)は\(cos\)、つまり偶関数の係数である。だから、\(a_n=0\)である。心配ならば、実際に\(a_n\)の公式に\(L=2π\)を代入すれば、\(a_n=0\)が求まる。

最後に、\(b_n\)を求める。\(a_0\)と同様に\(L=2π\)を代入する。

\begin{eqnarray}b_n&=&\frac{2}{2π}\int_{-π}^{π}f(x)sin(\frac{2πnx}{2π}) dx\\&=&\frac{1}{π} \left[ \int_{-π}^{0}(-1)sin(nx) dx+\int_{0}^{π}(+1)sin(nx) dx \right]\\&=&\frac{1}{π} \left[ \left[ \frac{1}{n}cos(nx) \right]_{-π}^{0}+\left[ -\frac{1}{n}cos(nx) \right]_{0}^{π} \right]\\&=&\frac{1}{π}\left[ \frac{1}{n}(1-cos(-nπ))+\frac{1}{n}(1-cos(nπ)) \right]\\&=&\frac{2}{nπ}(1-cos(nπ))\end{eqnarray}

ここで、4行目から5行目の変形について、\(n\)が整数ならば\(cos(-nπ)=cos(nπ)\)であることに注意する。さらに、\(cos(nπ)=(-1)^n\)であることに注意すると、\(b_n\)は次のように表せる。

$$\begin{eqnarray} b_n=\frac{2}{nπ}(1-(-1)^n) =\begin{cases} \frac{4}{nπ} & (n:奇数) \\ 0 & (n:偶数) \end{cases} \end{eqnarray}$$

以上より、\(b_n=\frac{4}{nπ}\)の\(n\)を、奇数\(2m-1\)(m:自然数)に置き換えると、次の答えが出る。

$$f(x)=\sum_{n=1}^{∞}{b_{n}sin(\frac{2πnx}{L})}=\sum_{m=1}^{∞}{\frac{4}{(2m-1)π}sin((2m-1)x)}$$

なぜフーリエ級数展開を考えるか

管理人自身このフーリエ級数展開に最初に触れたときは、\(\frac{a_0}{2}\)と\(a_0\)の表記ゆれに惑わされたり、f(x)の周期を間違えたりなどして、かなりのトラウマじみたものを植え付けられた。物理をするのになぜこんな思いまでしてフーリエ級数展開を解かなければいけないのか。

フーリエ級数展開の式より、すべての波は定数と正弦波(sinやcosで書ける波)の重ね合わせで書けるのである。これの物理的な例を無理やり挙げてみる。

今、目の前に画面が白一色のテレビがある。この白い光はどんな光が重なってつくられるのだろうか？もちろんテレビは光の三原色を使って白色を表すから、白い光は赤・青・緑色の光の重ね合わせで成り立っている。色は光の波長の長さで決まるから、もしテレビからの白色の光の波の形が分かれば、その波を関数で表して、それをフーリエ級数展開すれば、赤・青・緑色を表す波がそれぞれ求められるだろう(ただし、テレビの白色の光が周期関数になっている前提だが)。ちなみに、後で記事にする予定のフーリエ変換を白色光に適応させると、赤・青・緑色を表す波長の部分だけデルタ関数状に強くなっているような関数が求まるだろう。詳しくはフーリエ変換の記事で解説する。

このようにして、今学習している数学を無理やりにでも物理に応用しようと考えれば、数学の授業も多少は楽しく聞けるようになるのではなかろうか。

参考文献

・馬場敬之(2016)『スバラシク実力がつくと評判の演習 フーリエ解析 キャンパス・ゼミ』,マセマ出版社.

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