群速度と位相速度の導出

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上図は、2種類の波が重なり合ってうなりが発生している様子を表している。波の振幅を赤い点線で結んだが、群速度\(v_g\)とは、この赤線で表した波が動く速度を表したものである。このことから、群速度はうなりの構造の速度とよく言われる。

$$v_g≡\frac{dω}{dk}$$

一方、黒い実線の波の速さは位相速度\(v_φ\)と呼ぶ。

$$v_φ≡\frac{\bar{ω}}{\bar{k}}$$



群速度と位相速度の導出

合成波の求め方

次の二つの波の重ね合わせを考える。

$$u_1(x,t)=Acos(k_1x-ω_1t)$$$$u_2(x,t)=Acos(k_2x-ω_2t)$$

重ね合わせの定理より、合成波\(u(x,t)\)は2つの波の和となる。

\begin{eqnarray} u(x,t)&=&u_1(x,t)+u_2(x,t)\\&=&A(cos(k_1x-ω_1t)+cos(k_2x-ω_2t))\\&=&A・2cos\left( \frac{(k_1x-ω_1t)+(k_2x-ω_2t)}{2} \right)cos\left( \frac{(k_1x-ω_1t)-(k_2x-ω_2t)}{2} \right)\\&=&2Acos\left( \frac{(k_1+k_2)x-(ω_1+ω_2)t}{2} \right)cos\left( \frac{(k_1x-k_2x)-(ω_1-ω_2)t}{2} \right) \\&=&2Acos\left(\bar{k}x-\bar{ω}t \right)cos\left( \frac{Δkx-Δωt}{2} \right)\end{eqnarray}

ここで、2つの波の波数と角振動数の平均値をそれぞれ\(\bar{k}\)、\(\bar{ω}\)、差をそれぞれ\(Δk\)、\(Δω\)とおいた。途中で次の三角関数の公式が使われていることに注意する。

$$cosA+cosB=2cos\left( \frac{A+B}{2} \right)cos\left( \frac{A-B}{2} \right)$$

合成波の式の考察

以上から、合成波の式が求められた。

$$u(x,t)=2Acos\left(\bar{k}x-\bar{ω}t \right)cos\left( \frac{Δkx-Δωt}{2} \right)$$

この式から合成波は、cos波\(2Acos\left(\bar{k}x-\bar{ω}t \right)\)と因子\(cos\left( \frac{Δkx-Δωt}{2} \right)\)の積で求められることがわかる。では、それぞれについて詳しく見ていこう。

以降、両方の波の波数と角振動数の差が小さいとする。つまり、\(Δk<<k_1,k_2\)、\(Δω<<ω_1,ω_2\)である。

\(cos\left( \frac{Δkx-Δωt}{2} \right)\)と群速度

まず因子\(cos\left( \frac{Δkx-Δωt}{2} \right)\)について考える。

\(Δk<<k_1,k_2\)より、\(x\)の変動による位相の変化は小さい。したがって、波長が長いことがわかる。同様にして、\(Δω<<ω_1,ω_2\)より、波の速さも遅くなる。つまり、この部分は上図でいう赤線の波を表している。

また、この因子は次のように変形できる。

$$cos\left( \frac{Δkx-Δωt}{2} \right)=cos\left( \frac{Δk}{2}\left(x-\frac{Δω}{Δk}t \right) \right)$$

この因子の\(t\)の係数\(Δω/Δk\)が赤い波の速度となる。これの微小量をとることで、群速度\(v_g\)が求められる。

$$v_g=\frac{dω}{dk}$$

\(2A\left(\bar{k}x-\bar{ω}t \right)\)と位相速度

この因子は、振幅が\(2A\)のcos波を表している。位相速度はこの黒線の波の速度のことを指すが、この位相速度も群速度と同じ考え方で、次のように求まる。

$$v_φ≡\frac{\bar{ω}}{\bar{k}}$$

\(Δk<<k_1,k_2\)と\(Δω<<ω_1,ω_2\)より、黒線の波は、赤線の波より波長も短く波の速度も速いことがわかる。

まとめ

・2つの波が合成されたとき、合成波は次の数式で表された。

$$u(x)=2Acos\left(\bar{k}x-\bar{ω}t \right)cos\left( \frac{Δkx-Δωt}{2} \right)$$

・群速度\(v_g\)は次のように定義される。

$$v_g≡\frac{dω}{dk}$$

$$v_φ≡\frac{\bar{ω}}{\bar{k}}$$

参考文献

・長谷川修司(2009)『振動・波動 (講談社基礎物理学シリーズ)』,講談社.

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