二体問題と換算質量

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換算質量\(μ\)を導入することで、質量がそれぞれ\(m_1,m_2\)である2体の運動を、質量\(μ\)の1体の運動として考えることができる。この換算質量\(μ\)は、次の式を満たす。

$$\frac{1}{μ}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$$

この記事では、重心周りの運動エネルギーから換算質量を求めてみる。



運動エネルギーから換算質量を求める

相対座標と重心

質量がそれぞれ\(m_1,m_2\)の質点が存在する。2つの質点の重心の位置ベクトルを\({\bf r}_g\)、その重心から質点\(m_1,m_2\)へ向かうベクトルをそれぞれ\({\bf r}’_1,{\bf r}’_2\)とする。これら\({\bf r}’_1,{\bf r}’_2\)は、それぞれ重心\({\bf r}_g\)に対する質点\(m_1,m_2\)の位置を表しているため、質点\(m_1,m_2\)の相対座標とよぶ。

さらに、\(m_1\)から\(m_2\)へ向かうベクトルを\(\bf r\)とする。質点\(m_1,m_2\)の位置ベクトルをそれぞれ\({\bf r}_1,{\bf r}_2\)とおくと、質点\(m_1\)に対する質点\(m_2\)の相対座標\({\bf r}\)は、次のように表される。

$${\bf r}={\bf r}_2-{\bf r}_1$$

また、復習になるが、重心を質量などを使って表すと、次のようになった。

$$ {\bf r}_g=\frac{m_1{\bf r}’_1+m_2{\bf r}’_2}{m_1+m_2}$$

参考:天秤から考える重心の意味と導出

全体の運動エネルギー

2つの質点の運動エネルギーの和\(T\)は、重心の運動エネルギー\(T_g\)と、2つの質点の重心に対する運動エネルギーの和\(T’\)を足したものとなる。この証明は、この記事の最後に補足として示した。

$$T=T_g+T’$$

そして、\(T_g\)と\(T’\)はそれぞれ次のようになる。

$$T_g=\frac{1}{2}(m_1+m_2){\dot{\bf r}}^2$$
$$T’=\frac{1}{2}m_1{{\dot{\bf r}’}_1}^2+\frac{1}{2}m_2{{\dot{\bf r}’}_2}^2$$

重心周りの運動エネルギー\(T’\)と換算質量\(μ\)

重心の位置ベクトル\({\bf r}_g\)とベクトル\({\bf r}’_1,{\bf r}’_2\)の大きさの比に注目すると、これらの間には、それぞれ次の関係が成り立つ。\({\bf r}’_1\)は\({\bf r}\)に対して逆向きになっているから、マイナスをつける必要がある。

$${\bf r}’_1=-\frac{m_2}{m_1+m_2}{\bf r}$$
$${\bf r}’_2=\frac{m_1}{m_1+m_2}{\bf r}$$

これらを\(T’\)の式に代入する。

\begin{eqnarray}T’&=&\frac{1}{2}m_1\left(-\frac{m_2}{m_1+m_2}\dot{{\bf r}}\right)^2+\frac{1}{2}m_2\left(\frac{m_1}{m_1+m_2}\dot{{\bf r}}\right)^2\\&=&\frac{1}{2}\left(\frac{m_1m_2^2+m_1^2m_2}{(m_1+m_2)^2}\dot{{\bf r}}^2\right)\\&=&\frac{1}{2}\left(\frac{m_1m_2(m_1+m_2)}{(m_1+m_2)^2}\dot{{\bf r}}^2\right)\\&=&\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{{\bf r}}^2\end{eqnarray}

ここで、換算質量を\(μ≡\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\)と定義する。

$$T’=\frac{1}{2}μ\dot{{\bf r}}^2$$

この式は、2つの質点の重心に対する運動エネルギーの和\(T’\)と、質点\(m_1\)を固定して、なおかつ質点\(m_2\)の質量を\(μ\)とみなしたときの、質点\(μ\)の質点\(m_1\)に対する運動エネルギーが等しいことを意味する。

ちなみに、換算質量の定義式を変形すると、次の関係が求まる。

$$\frac{1}{μ}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$$

補足:\(T=T_g+T’\)の証明

全体の運動エネルギー\(T\)は、重心の運動エネルギー\(T_g\)と、重心周りの運動エネルギーの和\(T’=\sum_{j=1}^nT’_j\)で表せることを示す。

原点に対する\(j\)番目の質点\(m_j\)の位置\({\bf r}_j\)を、重心の位置\({\bf r}_g\)と重心に対する質点の相対座標\({\bf r}’_j\)を使って表すと、次のようになる。

$${\bf r}_j={\bf r}_g+{\bf r}’_j$$

あらゆる物体は質点の集合体としてみなせる。今考える物体が\(n\)個の質点で成り立っているとして、さらに物体全体の質量を\(M\)とおくと、\(M{\bf r}_g\)は次のように変形できる。

\begin{eqnarray} \displaystyle M{\bf r}_g&=&M\sum_{j=1}^n\frac{m_j{\bf r}_j}{M}\\&=&\sum_{j=1}^nm_j{\bf r}_j\\&=&\sum_{j=1}^nm_j({\bf r}_g+{\bf r}’_j)\\&=&\sum_{j=1}^nm_j{\bf r}_g+\sum_{j=1}^nm_j{\bf r}’_j\\&=&M{\bf r}_g+\sum_{j=1}^nm_j{\bf r}’_j \end{eqnarray}

この式の最初と最後を比較すると、次の関係が求まる。

$$\sum_{j=1}^nm_j{\bf r}’_j=0$$

質点が時間に依存しないため、この式の時間微分は、

$$\sum_{j=1}^nm_j\dot{{\bf r}}’_j=0・・・(1)$$

粒子全体の運動エネルギー\(T\)の変形

質量\(m_j\)の質点の位置ベクトルは\({\bf r}_j\)だから、この質点の運動エネルギー\(T_j\)は、次のようになる。

$$T_j=\frac{1}{2}m_j\dot{{\bf r}}^2_j$$

\(n\)個の質点の運動エネルギーの和\(T\)を変形してみる。

\begin{eqnarray} \displaystyle T&=&\sum_{j=1}^nT_j\\&=&\sum_{j=1}^n\frac{1}{2}m_j\dot{{\bf r}}^2_j\\&=&\sum_{j=1}^n\frac{1}{2}m_j(\dot{{\bf r}}_g+\dot{{\bf r}}’_j)^2\\&=&\sum_{j=1}^n\frac{1}{2}m_j(\dot{{\bf r}}_g^2+2\dot{{\bf r}}_g\dot{{\bf r}}’_j+{\dot{{\bf r}}’_j}^2)\\&=&\sum_{j=1}^n\frac{1}{2}m_j(\dot{{\bf r}}_g^2+{\dot{{\bf r}}’_j}^2)\\&=&\frac{1}{2}M\dot{{\bf r}}_g^2+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^nm_j{\dot{{\bf r}}’_j}^2・・・(2) \end{eqnarray}

ただし、最後の変形で式(1)を使った。

式(2)の各項の考察

式(2)の最後の式の第一項は、物体全体の質量がすべて重心に集中したときの、重心の運動エネルギー\(T_g\)を表している。そして第二項は、それぞれの粒子の重心に対する運動エネルギーの和\(T’\)を表している。

$$T_g=\frac{1}{2}M\dot{{\bf r}}_g^2$$
$$\displaystyle T’=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^nm_j{\dot{{\bf r}}’_j}^2$$

つまり、粒子全体の運動エネルギー\(T\)は、重心の運動エネルギー\(T_g\)とすべての質点の重心に対する運動エネルギー\(T’\)の和に等しくなる。

まとめ

・重心周りの運動エネルギーから換算質量を求めた。

参考文献

・Goldstein, Herbert. “Classical Mechanics (World Student)” 2nd ed. Reading, Mass: Addison-Wesley Publishing Company, 1980.

(題名を斜体にできないので” “でくくっています)

・戸田盛和(1982)『力学 (物理入門コース1)〕』,岩波書店.

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