Maxwell方程式の微分形と積分形

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ガウスの法則

$$div {\bf D}({\bf r},t)=ρ({\bf r},t)$$

磁束保存則

$$div {\bf B}({\bf r},t)=0$$

アンペール・マクスウェルの法則

$$rot {\bf H}({\bf r},t)={\bf i}({\bf r},t)+\frac{∂{\bf D}({\bf r},t)}{∂t}$$

ファラデーの誘導法則

$$rot {\bf E}({\bf r},t)=-\frac{∂{\bf B}({\bf r},t)}{∂t}$$

電場と電束密度、磁場と磁束密度の関係式

$${\bf D}({\bf r},t)=ε{\bf E}({\bf r},t)$$

$${\bf B}({\bf r},t)=μ{\bf H}({\bf r},t)$$

\({\bf E}({\bf r},t)\):電場  \({\bf D}({\bf r},t)\):電束密度 \({\bf H}({\bf r},t)\):磁場  \({\bf B}({\bf r},t)\):磁束密度

\(ρ({\bf r},t)\):電荷密度 \({\bf i}({\bf r},t)\):電流密度 \(ε\):誘電率 \(μ\):透磁率

最初の4つの方程式をまとめてMaxwell方程式という。この形式を、Maxwell方程式の微分形という。後の2つは補足として電場と電束密度、磁場と磁束密度の関係式をそれぞれ書いた。



ガウスの発散定理・ストークスの定理

上ではMaxwell方程式の微分形を示したが、この形では方程式が具体的に何を表しているのかわかりにくい。ところが、これらの方程式の両辺を積分して、「積分形」にしてあげると、物理的な意味が説明しやすくなる。この積分には、ガウスの発散定理とストークスの定理が不可欠である。

ガウスの発散定理(3次元)

$$\int_{V} div {\bf A} dV=\int_{S} {\bf A} ・d{\bf S}$$

ここで、左辺のVは、閉曲面Sに囲まれた部分を表している。したがって、左辺の\(dV\)による積分は、閉曲面Sに囲まれた部分の体積を表している。右辺のSは、この閉曲面Sの面積を表す。

ストークスの定理(3次元)

$$\int_{S} rot{\bf A} ・d{\bf S}=\int_{C} {\bf A} ・d{\bf r}$$

ここで、左辺のSは、この閉曲面Sの面積である。右辺のCは、閉曲面Sを囲んでいる曲線を表している。

Maxwell方程式の積分形の導出

上の2つの定理を利用して、Maxwell方程式の積分形を求める。

ガウスの法則

$$div {\bf D}({\bf r},t)=ρ$$

両辺を体積で積分すると、次のようになる。

$$\int_{V} div {\bf D}({\bf r},t) dV=\int_{V} ρ({\bf r},t)  dV$$

この式の左辺を、ガウスの発散定理によって変形させると次の方程式が得られる。

$$\int_{S} {\bf E}({\bf r},t) ・d{\bf S}=\frac{1}{ε} \int_{V} ρ({\bf r},t) dV$$

この式が、ガウスの法則の積分形である。この式は、閉曲面\(S\)を垂直に通る電気力線の本数は、領域\(V\)内に存在する電荷の和を誘電率\(ε\)で割ったものに等しいことを表している。

参考:ガウスの法則の導出

磁束保存則

同じように、磁束保存則の式も面積積分してみる。

$$\int_{S} {\bf B}({\bf r},t) ・d{\bf S}=0$$

単体で磁場を作り出す「単磁荷」が存在しないことの証明としてよくこの式がでてくる。

アンペール・マクスウェルの法則

まず、アンペール・マクスウェルの式の両辺を面積分すると、下の式が得られる。

$$\int_{S} rot {\bf H}({\bf r},t) ・d{\bf S}=\int_{S} {\bf i}({\bf r},t) ・d{\bf S}+\int_{S} \frac{∂{\bf D}({\bf r},t)}{∂t} ・d{\bf S}$$

この式の左辺は、ストークスの定理より、次のように表せる。

$$\int_{S} rot {\bf H}({\bf r},t) ・d{\bf S}=\int_{C} {\bf H}({\bf r},t)・d{\bf r}$$

右辺の第一項について、\({\bf i}({\bf r},t)\)は電流密度だから、これを面積分すると、その積分した面を通過する電流\({\bf I}({\bf r},t)\)を表す。つまり、次のようになる。

$$\int_{S} {\bf i}({\bf r},t) ・d{\bf S}={\bf I}({\bf r},t)$$

これらをまとめると、アンペール・マクスウェルの法則の積分形は次のようになる。

$$\int_{C} {\bf H}({\bf r},t)・d{\bf r}={\bf I}({\bf r},t)+\int_{S} \frac{∂{\bf D}({\bf r},t)}{∂t} ・d{\bf S}$$

ここで、もし電場の時間変化がない、つまり\(\frac{∂{\bf D}}{∂t}=0\)の場合、次のようになる。

$$\int_{C} {\bf H}({\bf r},t)・d{\bf r}={\bf I}({\bf r},t)$$

この式から、電流が閉曲面\(S\)を通りぬけるとき、その面の回り\(C\)で右ねじの法則に沿った方向の磁場を作り出すことがわかる。

参考:アンペールの法則とその導出

ファラデーの誘導法則

同じように、ファラデーの誘導法則の両辺も面積分する。

$$\int_{C} {\bf E}({\bf r},t)・d{\bf r}=-\int_{S}\frac{∂{\bf B}({\bf r},t)}{∂t}・d{\bf S}$$

この式から、閉曲面\(S\)を通る磁束密度の時間変化が、その面の周り\(C\)で電場を作り出すことがわかる。

Maxwell方程式の積分形のまとめ

ガウスの法則

$$\int_{S} {\bf E}({\bf r},t) ・d{\bf S}=\frac{1}{ε} \int_{V} ρ({\bf r},t) dV$$

磁束保存則

$$\int_{S} {\bf B}({\bf r},t) ・d{\bf S}=0$$

アンペール・マクスウェルの法則

$$\int_{C} {\bf H}({\bf r},t)・d{\bf r}={\bf I}({\bf r},t)+\int_{S} \frac{∂{\bf D}({\bf r},t)}{∂t} ・d{\bf S}$$

ファラデーの誘導法則

$$\int_{C} {\bf E}({\bf r},t)・d{\bf r}=-\int_{S}\frac{∂{\bf B}({\bf r},t)}{∂t}・d{\bf S}$$

参考文献

・砂川重信(1987)『電磁気学 (物理テキストシリーズ 4)』,岩波書店.

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