量子力学のハミルトニアンˆHは次のように表された。
この記事では、極座標のラプラシアンから、極座標のシュレディンガー方程式とハミルトニアンを求める。
なお、水素原子のまわりの電子や球面調和関数の導出などについては別の記事にまとめてあります。
前提知識
極座標のナブラ
極座標のラプラシアン
極座標の単位ベクトル
角運動量演算子
古典的な角運動量はl=r×pだから、角運動量演算子ˆlは、運動量演算子と極座標のナブラを使って次のように変形できる。A×A=0と外積の符号に注意する。右ねじを意識すれば、外積の向きは間違えないはずだ。
次に、この角運動量演算子の二乗ˆl2を考える。極座標の単位ベクトルer,eφ,eθはそれぞれ直交し、かつその大きさは1である。だから、eφとeθの内積について、次の関係が成り立つ。
この関係を意識してˆl2を計算する。
第二項の計算
上の式のカッコ内の第二項を詳しく計算してみる。
まず、内積eφ・eθは、
また、eθをθで偏微分すると、
だから、内積eφ・∂eθ∂θは、
以上を使うと、第二項が計算できる。
第三項の計算
次に、カッコ内の第三項を詳しく計算してみる。
単位ベクトルeφをφで偏微分すると、
だから、内積eθ・∂eφ∂φも次のように求められる。
最終的なˆl2
求めた第二項と第三項を、元の式(1)に代入する。
ˆl2がこのように変形できるということは、このˆl2を極座標のラプラシアン∆に組み込めることを意味する。
この記事の一番最初にあるシュレディンガー方程式の∇2に、このラプラシアン∆を代入する。
エルミートな動径方向の運動量演算子ˆpr≡ħi1r∂∂rrを導入すると、このシュレディンガー方程式は次の形になる。
以上で、極座標のシュレディンガー方程式が求められた。
この方程式から、極座標のハミルトニアンˆHは、次のように表現される。
ハミルトニアンの各項の意味
ˆp2r2mは動径方向の運動エネルギー、ˆl2mr2は回転運動エネルギー、V(r)はポテンシャルエネルギーを表している。
まとめ
3次元の極座標におけるシュレディンガー方程式とハミルトニアンを求めた。
参考文献
・A.メシア(1972)『メシア量子力学 2』(小出昭一郎・田村二郎訳),東京図書株式会社.
・猪木慶治・川合光(1994)『量子力学I』,講談社.