シュレディンガー方程式と運動量演算子の求め方

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シュレディンガー方程式とは次の式のことを指す。

$$iħ\frac{∂}{∂t}Ψ({\bf r},t)=-\frac{ħ^2}{2m}∇^2Ψ({\bf r},t)$$

ハミルトニアンを使うと、

$$iħ\frac{∂}{∂t}Ψ({\bf r},t)=\hat{H}Ψ({\bf r},t)$$

この記事では上の式を導出後、運動量演算子を求める。



シュレディンガー方程式の準備

波動関数の書き換え

波動を表す式は、一般的に次のような形をしている。

$$ψ(x,t)=Cexp[i(kx-ωt)]$$

また、量子力学では次の関係が成り立つことが知られている。

$$E=hν=ħω$$

参考:なぜE=hνが成立するのか

この式を変形して、次の式を得られる。

$$ω=\frac{E}{ħ}$$

加えて、ドブロイ波長は次のように表される。

$$λ=\frac{h}{p}$$

参考:ボーア半径と水素原子のエネルギー準位の導出

参考:ドブロイ波の例題集

よって、波数\(k\)を導入すると下の式を得る。

$$k=\frac{2π}{λ}=\frac{2πp}{h}=\frac{p}{ħ}$$

これらを最初の波を表す式に代入すれば、運動量\(p\)とエネルギー\(E\)による波の式が求まる。

$$ψ_p(x,t)=Cexp\left[\frac{i}{ħ}(px-Et)\right]$$

一次元のシュレディンガー方程式の導出

上に示した通り、運動量\(p\)、エネルギー\(E\)を持つ自由粒子は、定数\(C\)を使って次のような波動関数\(ψ_p\)で表現できる。

$$ψ_p(x,t)=Cexp\left[\frac{i}{ħ}(px-Et)\right] $$

波の重ね合わせの原理より、一般的な波動関数\(ψ\)は、\(C_aψ_a,C_bψ_b,C_cψ_c,…\)の総和となる。

$$ψ(x,t)=C_aψ_a+C_bψ_b+C_cψ_c+…$$
$$\left( ψ_{a}(x,t)=exp\left[\frac{i}{ħ}(p_ax-E_at)\right] \right)$$

この波動関数\(ψ(x,t)\)を運動量による積分を使って表すと、次のようになる。ただし\(C_a,C_b\)といった係数は、運動量\(p\)に依存する波動関数\(ψ_{a}(x,t),ψ_{b}(x,t)\)にかかっているから、下式の\(C\)も運動量に依存する。

$$ψ(x,t)=\int_{-∞}^∞ C(p)exp\left[\frac{i}{ħ}(px-Et)\right] dp・・・(1)$$

式(1)の両辺をtで微分すると、次の式を得る。

$$iħ\frac{∂ψ(x,t)}{∂t}=\int_{-∞}^∞ EC(p)exp\left[\frac{i}{ħ}(px-Et)\right] dp・・・(2)$$

式(1)の両辺を2回xで微分する。

$$\frac{∂^2ψ(x,t)}{∂x^2}=\int_{-∞}^∞  \left( -\frac{p^2}{ħ^2} \right) × C(p)exp\left[\frac{i}{ħ}(px-Et)\right] dp$$

粒子の質量を\(m\)とおき、この式の両辺に\(-\frac{ħ^2}{2m}\)をかける。

$$-\frac{ħ^2}{2m}\frac{∂^2ψ(x,t)}{∂x^2}=\int_{-∞}^∞  \left( \frac{p^2}{2m} \right) × C(p)exp\left[\frac{i}{ħ}(px-Et)\right] dp・・・(3)$$

式(3)右辺の\(\frac{p^2}{2m}\)は自由粒子のエネルギー\(E\)を表している。したがって、式(2)と式(3)の右辺は等しい。よって次の式を得る。

$$iħ\frac{∂ψ(x,t)}{∂t}=-\frac{ħ^2}{2m}\frac{∂^2ψ(x,t)}{∂x^2}$$

以上で、一次元のシュレディンガー方程式が求められた。

三次元のシュレディンガー方程式の導出

三次元のシュレディンガー方程式も一次元のときと同じように求められる。

運動量\({\bf p}\)、エネルギー\(E\)を持つ自由粒子は、定数\(C\)を使って次のような波動関数\(ψ_{\bf p}\)で表現できる。

$$ψ_{\bf p}({\bf r},t)=Cexp\left[\frac{i}{ħ}({\bf p}・{\bf r}-Et)\right]$$

波の重ね合わせの原理より、

$$ψ({\bf r},t)=C_aψ_a+C_bψ_b+C_cψ_c+…$$
$$\left( ψ_{a}({\bf r},t)=C_aexp\left[\frac{i}{ħ}({\bf p}_a・{\bf r}-E_at)\right] \right)$$

この波動関数\(ψ({\bf r},t)\)を運動量による積分を使って表すと、次のようになる。

$$ψ({\bf r},t)=\int_{-∞}^∞ C({\bf p})exp\left[\frac{i}{ħ}({\bf p}・{\bf r}-Et)\right] d^3p・・・(4)$$

式(4)の両辺をtで微分すると、

$$iħ\frac{∂ψ(x,t)}{∂t}=\int_{-∞}^∞ EC({\bf p})exp\left[\frac{i}{ħ}({\bf p}・{\bf r}-Et)\right] d^3p・・・(5)$$

式(4)の両辺に2回発散をとり、

$$-\frac{ħ^2}{2m}∇^2ψ({\bf r},t)=\int_{-∞}^∞  \left( \frac{|{\bf p}|^2}{2m} \right) × C(p)exp\left[\frac{i}{ħ}({\bf p}・{\bf r}-Et)\right] dp・・・(6)$$

式(5)と式(6)の右辺は等しいから、

$$iħ\frac{∂ψ({\bf r},t)}{∂t}=-\frac{ħ^2}{2m}∇^2ψ({\bf r},t)$$
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運動量演算子

一次元の運動量演算子

シュレディンガー方程式の導出の最初に下の式を確認した。

$$ψ_p(x,t)=Cexp\left[\frac{i}{ħ}(px-Et)\right] $$

この式の両辺をtとxでそれぞれ微分すると、次の式を得る。

$$iħ\frac{∂}{∂t}ψ_p(x,t)=Eψ_p(x,t)$$

$$-iħ\frac{∂}{∂x}ψ_p(x,t)=pψ_p(x,t)$$

よって、両辺を比較することで、エネルギー・運動量と演算子の微分演算子の間に次のような対応関係が求まる。

$$E→iħ\frac{∂}{∂t}$$

$$p→-iħ\frac{∂}{∂x}$$

これらはそれぞれエネルギー演算子、運動量演算子と呼ぶ。

三次元の運動量演算子

三次元のエネルギー演算子と運動量演算子も同様に求まる。

$$E→iħ\frac{∂}{∂t}$$

$$p→-iħ∇$$

おまけ

シュレディンガー方程式を解くことで波動関数\(ψ({\bf r},t)\)が求まるのだが、これによって何がわかるだろうか。

参考:シュレディンガー方程式を解く意味とは

参考文献

・猪木慶治・川合光(1994)『量子力学I』,講談社.

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