力のモーメントと角運動量の関係

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従来の運動量p=mvは、物体の並進運動の勢いや激しさを表していた。これの回転運動バージョンが角運動量である。つまり角運動量Lとは、回転軸に対する回転運動の勢いや激しさを表すパラメータである。

Lr×p

力のモーメントNとは、回転軸に対して物体を回転させようとする力の大きさを表す。トルクと呼ばれることもある。

Nr×F

角運動量ベクトルLと力のモーメントのベクトルNの関係は次の通りになる。

dLdt=N

この記事では、2次元平面と3次元空間でこのLNの関係式が成り立つことを示す。

二次元平面での角運動量と力のモーメントの関係

xy平面上の運動方程式は、次の2つである。

mdvxdt=Fx

mdvydt=Fy

x軸方向の方程式の両辺にはyy軸方向の方程式の両辺にはxをそれぞれにかける。

mydvxdt=yFx(1)

mxdvydt=xFy(2)

式(2)の両辺から式(1)を引く。

m(xdvydtydvxdt)=xFyyFx(3)

式(3)の左辺について、Lm(xvyyvx)とおくと、

m(xdvydtydvxdt)=m(vxvy+xdvydtvxvyydvxdt)=m(dxdtvy+xdvydtvxdydtydvxdt)=mddt(xvyyvx)=dLdt

式(3)の右辺について、次のようにNをおく。

NxFyyFx

以上より、式(3)は次のように書き直せる。

dLdt=N

この式が、二次元平面における角運動量と力のモーメントの関係である。

三次元空間での角運動量と力のモーメントの関係

三次元でも全く同じ議論をする。

mdvxdt=Fx

mdvydt=Fy

mdvzdt=Fz

これらの運動方程式を、二次元のときと同様に組み合わせて、次の式を立てる。

mddt(yvzzvy)=yFzzFy(4)

mddt(zvxxvz)=zFxxFz(5)
mddt(xvyyvx)=xFyyFx(6)

次のようにLiNi(i=x,y,z)を定義する。

Lx=m(yvzzvy)(7)

Ly=m(zvxxvz)(8)
Lz=m(xvyyvx)(9)

Nx=yFzzFy(10)

Ny=zFxxFz(11)
Nz=xFyyFx(12)

これら6つの式と角運動量ベクトルLと力のモーメントのベクトルNを使って式(4)(5)(6)をまとめると、次の式を得る。

dLdt=N

これで、両ベクトルの関係式が求められた。

角運動量ベクトルと力のモーメントのベクトルの定義について

角運動量ベクトルL

運動量p=mvに注意すると、式(7)(8)(9)は次のように書き換えられる。

Lx=ypzzpy(7)

Ly=zpxxpz(8)
Lz=xpyypx(9)

これらの式は、外積L=r×pの定義に他ならない。

したがって、角運動量ベクトルLは、位置ベクトルrと運動量ベクトルpの外積で定義される。

力のモーメントのベクトルN

式(10)(11)(12)は、外積N=r×Fの定義に他ならない。

したがって、力のモーメントのベクトルNは、位置ベクトルrと力のベクトルFの外積で定義される。

参考文献

・戸田盛和(1982)『力学〔物理入門コース1〕』,岩波書店.

・矢野健太郎・石原繁(2012)『線形代数(改訂改題)』,裳華房.

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