従来の運動量p=mvは、物体の並進運動の勢いや激しさを表していた。これの回転運動バージョンが角運動量である。つまり角運動量Lとは、回転軸に対する回転運動の勢いや激しさを表すパラメータである。
力のモーメントNとは、回転軸に対して物体を回転させようとする力の大きさを表す。トルクと呼ばれることもある。
角運動量ベクトルLと力のモーメントのベクトルNの関係は次の通りになる。
この記事では、2次元平面と3次元空間でこのLとNの関係式が成り立つことを示す。
目次 [hide]
二次元平面での角運動量と力のモーメントの関係
xy平面上の運動方程式は、次の2つである。
mdvxdt=Fx
x軸方向の方程式の両辺にはy、y軸方向の方程式の両辺にはxをそれぞれにかける。
mydvxdt=yFx・・・(1)
式(2)の両辺から式(1)を引く。
式(3)の左辺について、L≡m(xvy−yvx)とおくと、
式(3)の右辺について、次のようにNをおく。
N≡xFy−yFx
以上より、式(3)は次のように書き直せる。
dLdt=N
この式が、二次元平面における角運動量と力のモーメントの関係である。
三次元空間での角運動量と力のモーメントの関係
三次元でも全く同じ議論をする。
mdvxdt=Fx
mdvydt=Fy
mdvzdt=Fz
これらの運動方程式を、二次元のときと同様に組み合わせて、次の式を立てる。
mddt(yvz−zvy)=yFz−zFy・・・(4)
次のようにLiとNi(i=x,y,z)を定義する。
Lx=m(yvz−zvy)・・・(7)
Nx=yFz−zFy・・・(10)
これら6つの式と角運動量ベクトルLと力のモーメントのベクトルNを使って式(4)(5)(6)をまとめると、次の式を得る。
これで、両ベクトルの関係式が求められた。
角運動量ベクトルと力のモーメントのベクトルの定義について
角運動量ベクトルL
運動量p=mvに注意すると、式(7)(8)(9)は次のように書き換えられる。
Lx=ypz−zpy・・・(7′)
これらの式は、外積L=r×pの定義に他ならない。
したがって、角運動量ベクトルLは、位置ベクトルrと運動量ベクトルpの外積で定義される。
力のモーメントのベクトルN
式(10)(11)(12)は、外積N=r×Fの定義に他ならない。
したがって、力のモーメントのベクトルNは、位置ベクトルrと力のベクトルFの外積で定義される。
参考文献
・戸田盛和(1982)『力学〔物理入門コース1〕』,岩波書店.
・矢野健太郎・石原繁(2012)『線形代数(改訂改題)』,裳華房.