ポインティングベクトルの意味と絶対値

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ポインティングベクトル ${\bf S}(t,{\bf r})$ とは、電磁場の流れを表すものであり、次のように定義される。

${\bf S}({\bf r},t)={\bf E}({\bf r},t)×{\bf H}({\bf r},t)$

目次 [hide]

1 ポインティングベクトルの導出
- 1.1 エネルギー保存則
2 ポインティングベクトルの定義
3 ポインティングベクトルの大きさ
4 まとめ
5 参考文献

ポインティングベクトルの導出

エネルギー保存則

静電場のエネルギー

位置 ${\bf r}$ でのエネルギー密度は $\frac{1}{2}ε_0{\bf E}^2({\bf r})$ で与えられるため、これを体積で積分すれば、その体積中での静電場のエネルギー $U_e$ が求められる。

$U_e=\frac{1}{2}ε_0 \int_V {\bf E}^2({\bf r}) d^3r$

マクスウェル方程式

次の2つのマクスウェル方程式を思い出す。

$rot {\bf E}({\bf r},t)=-\frac{∂{\bf B}({\bf r},t)}{∂t}$

$rot {\bf H}({\bf r},t)-\frac{∂{\bf D}({\bf r},t)}{∂t}={\bf j}({\bf r},t)$

参考:Maxwell方程式の微分形と積分形

1つ目の方程式の両辺には磁場 ${\bf H}$ 、2つ目の方程式の両辺には電場 ${\bf E}$ の内積をとる。

${\bf H}･(rot {\bf E})=-{\bf H}･\frac{∂{\bf B}}{∂t}$

${\bf E}･(rot {\bf H})-{\bf E}･\frac{∂{\bf D}}{∂t}={\bf E}･{\bf j}$

上の式から下の式を引く。

${\bf H･}(rot {\bf E})-{\bf E}･(rot {\bf H})+{\bf E}･\frac{∂{\bf D}}{∂t}=-{\bf H}\frac{∂{\bf B}}{∂t}-{\bf E}･{\bf j}･･･(1)$

ここで、次のベクトルの恒等式を導入する。

$∇･({\bf A}×{\bf B})={\bf B}･(∇×{\bf A})-{\bf A}･(∇×{\bf B})$

この恒等式を式(1)に適応すると、

$∇･({\bf E}×{\bf H})=-{\bf E}･{\bf j}-{\bf H}･\frac{∂{\bf B}}{∂t}-{\bf E}･\frac{∂{\bf D}}{∂t}$

${\bf D}=ε_0{\bf E}$ 、 ${\bf B}=μ_0{\bf H}$ をこの式の右辺に代入する。

$\begin{eqnarray} -{\bf H}･\frac{∂{\bf B}}{∂t}-{\bf E}･\frac{∂{\bf D}}{∂t}&=&-μ_0{\bf H}･\frac{∂{\bf H}}{∂t}-ε_0{\bf E}･\frac{∂{\bf E}}{∂t}\\&=&-\frac{1}{2}\left( μ_0\frac{∂{\bf H}}{∂t}･{\bf H}+μ_0{\bf H}･\frac{∂{\bf H}}{∂t}+ε_0\frac{∂{\bf E}}{∂t}･{\bf E}+ε_0{\bf E}･\frac{∂{\bf E}}{∂t} \right)\\&=&-\frac{1}{2}\frac{∂}{∂t}\left( μ_0{\bf H}･{\bf H}+ε_0{\bf E}･{\bf E}\right)\\&=&-\frac{1}{2}\frac{∂}{∂t}\left( {\bf H}･{\bf B}+{\bf D}･{\bf E}\right) \end{eqnarray}$

この変形より、

$∇･({\bf E}×{\bf H})=-{\bf E}･{\bf j}-\frac{1}{2}\frac{∂}{∂t}\left( {\bf H}･{\bf B}+{\bf D}･{\bf E}\right)$

この式の両辺を体積積分する。

$\int _V∇･({\bf E}×{\bf H}) dV=-\int _V {\bf E}･{\bf j}dV-\int _V\frac{1}{2}\frac{∂}{∂t}\left( {\bf H}･{\bf B}+{\bf D}･{\bf E}\right)dV$

右辺について

まず右辺の第一項 $-\int _V {\bf E}･{\bf j}dV$ について考える。

単位体積かつ単位時間で発生するジュール熱 $w$ は、次のように与えられた。

$w({\bf r})={\bf j}({\bf r})･{\bf E}({\bf r})$

参考:ジュールの法則とその微分形の導出

ジュール熱 $w$ がこのように与えらえるから、これを体積積分してマイナスをつけた $-\int _V {\bf E}･{\bf j}dV$ は、単位時間における領域 $V$ 内から出て行ったジュール熱を表す。

また、右辺の第二項に含まれる $-\frac{1}{2}\int _V{\bf D}･{\bf E}dV$ は、最初に見た静電場のエネルギーの式そのものである。このことから第二項は、単位時間での領域 $V$ 内の電磁場のエネルギーの減少量を表すと考えられる。

左辺について

左辺にガウスの発散定理を適応する。

$\begin{eqnarray} \int _V∇･({\bf E}×{\bf H}) dV&=&\int _S ({\bf E}×{\bf H}) d{\bf S}\\&=&\int _S ({\bf E}({\bf r})×{\bf H}({\bf r}))･{\bf n}({\bf r}) dS \end{eqnarray}$

右辺の考察と組み合わせると、左辺は、単位時間で領域 $V$ を囲む面積領域 $S$ を通って出て行った電磁場のエネルギーを表すといえる。

ポインティングベクトルの定義

以上の考察から、次のようなベクトルを定義する。

${\bf S}({\bf r})={\bf E}({\bf r})×{\bf H}({\bf r})$

このベクトル ${\bf S}$ はポインティングベクトルといい、単位時間で、 ${\bf E}$ と ${\bf H}$ に垂直な単位面積を通って外部に流れる電磁場のエネルギーを指す。これの向きは当然電磁場のエネルギーが流れる方向を向き、大きさは流れる電磁場のエネルギーの大きさを表す。

ポインティングベクトルの大きさ

平面電磁波

${\bf E}=Ecos({\bf k}･{\bf r}-ωt)$

${\bf B}=Bcos({\bf k}･{\bf r}-ωt)$

のポインティングベクトルの大きさを求めよう。

ファラデーの電磁誘導の法則

$\frac{∂{\bf B}({\bf r},t)}{∂t}=-rot {\bf E}({\bf r},t)$

に、上の平面電磁波を代入する。

$ω{\bf B}={\bf k}×{\bf E}$

この式を $\bf B$ について解く。ここで、波数ベクトルと平行な単位ベクトルを $\hat{\bf k}$ 、波数ベクトルの大きさを $k$ とする(つまり ${\bf k}=k\hat{\bf k}$ )。

$\begin{eqnarray}{\bf B}&=&\frac{1}{ω}{\bf k}×{\bf E}\\&=&\frac{k}{ω}\hat{\bf k}×{\bf E}\\&=&\frac{1}{c}\hat{\bf k}×{\bf E}\end{eqnarray}$

ここで、平面波の分散関係 $ω=ck$ を使った。

参考:等位相面と平面波とは

この $\bf B$ を、ポインティングベクトルの定義式に代入する。

$\begin{eqnarray}{\bf S}&=&\frac{1}{μ}{\bf E}×{\bf B}\\&=&\frac{1}{cμ}{\bf E}×(\hat{\bf k}×{\bf E})\\&=&\frac{1}{cμ}({\bf E}^2\hat{\bf k}-(\hat{\bf k}･{\bf E}){\bf E})\\&=&\frac{\sqrt{εμ}}{μ}((Ecos({\bf k}･{\bf r}-ωt))^2\hat{\bf k}-0･{\bf E})\\&=&\sqrt{\frac{ε}{μ}}(Ecos({\bf k}･{\bf r}-ωt))^2\end{eqnarray}$

電場は進行方向に対して垂直に振動する縦波だから、 $\hat{\bf k}･{\bf E}=0$ となることを途中で使った。

このポインティングベクトルの時間平均と絶対値をとる。

$|\bar{\bf S}|=\sqrt{\frac{ε}{μ}}|E|^2$

以上で、時間平均したポインティングベクトル絶対値が求められた。

まとめ

・ポインティングベクトルは、電磁波のエネルギーの向きと大きさを表す。

・時間平均したポインティングベクトルの絶対値を求めた。

参考文献

・川田善正(2014)『はじめての光学』,講談社.

・砂川重信(1987)『物理テキストシリーズ4 電磁気学』,岩波書店.

ポインティングベクトルの意味と絶対値

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マクスウェル方程式

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