静電場と静磁場中の電荷の運動方程式

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[mathjax]

静磁場(時間変化しない磁場)\({\bf B}({\bf r})\)中を、\(Δ{\bf r}\)方向に流れる電流\(I\)にかかる力を、アンペールの力という。この力を\({\bf F}_B({\bf r})\)とおくと、次の式を満たす。

$${\bf F}_B({\bf r})=IΔ{\bf r}×{\bf B}({\bf r})$$

この式を使って、静電場と静磁場中の電荷が満たす運動方程式を導出する。



単位体積あたりの力\({\bf f}_B\)

上図の導線に電流\(I\)が流れているとする。さらに、導線上の位置を点で表したものを\({\bf r}\)、\(Δ{\bf r}\)を位置\({\bf r}\)における微小部分を表すベクトルとする。底面積\(ΔS\)を通過する電流\(I\)と、電流密度\({\bf i}({\bf r})\)には、以下の関係が成り立つ。

$$IΔ{\bf r}={\bf i}({\bf r})ΔSΔl$$

一方、導線の単位体積当たりに働く力\({\bf f}_B({\bf r})\)を考える。微小円筒の体積は\(ΔSΔl\)だから、\({\bf F}_B({\bf r})\)と\({\bf f}_B({\bf r})\)の関係式は、

$${\bf F}_B({\bf r})={\bf f}_B({\bf r})ΔSΔl$$

これらの式を上のアンペールの力の式に代入する。

$${\bf f}_B({\bf r})={\bf i}({\bf r})×{\bf B}({\bf r})$$

電流密度\({\bf i}\)について

電流密度\({\bf i}({\bf r})\)を、電荷密度\(ρ({\bf r})\)と電荷の速度\({\bf v}\)で表すと、

$${\bf i}({\bf r})=ρ({\bf r}){\bf v}$$

これを上で求めた\({\bf f}_B\)の式に代入すると、

$${\bf f}_B({\bf r})=ρ({\bf r}){\bf v}×{\bf B}({\bf r})$$

電荷\(e\)が位置\({\bf z}\)にあるときの電荷密度\(ρ\)をデルタ関数で表すと、\(ρ({\bf r})=eδ({\bf r}-{\bf z})\)になる。よって、

$${\bf f}_B({\bf r})=eδ({\bf r}-{\bf z}){\bf v}×{\bf B}({\bf r})$$

参考:デルタ関数と使用例

静磁場と静電場の影響

静電場\({\bf E}\)中の電荷密度\(ρ\)に働く力\({\bf f}_E\)は、次のように表せた。

$${\bf f}_E({\bf r})=ρ{\bf E}({\bf r})$$

したがって、静電場と静磁場の両方の影響を考えた力\({\bf f}={\bf f}_E+{\bf f}_B\)は、

$${\bf f}({\bf r})=eδ({\bf r}-{\bf z})({\bf E}({\bf r})+{\bf v}×{\bf B}({\bf r}))$$

\({\bf f}\)の体積積分

\({\bf f}\)は導線の単位体積当たりに働く力だったから、これを領域\(V\)で体積積分すると、領域\(V\)全体に働く力が求まる。ただし今回の場合、\({\bf f}\)はデルタ関数\(δ({\bf r}-{\bf z})\)を含んでいるため、電荷がある位置\({\bf z}\)にしか力は働かないことがわかる。

\begin{eqnarray} F&=&\int_V {\bf f}({\bf r}) d^3r\\&=&\int_V eδ({\bf r}-{\bf z})({\bf E}({\bf r})+{\bf v}×{\bf B}({\bf r}))d^3r\\&=&e({\bf E}({\bf z})+{\bf v}×{\bf B}({\bf z})) \end{eqnarray}

この電荷に働く力\(F\)をローレンツ力という。

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運動方程式の構築

最後に、運動方程式\(m\dot{v}=F\)に上で求めた\(F\)を代入する。

$$m\frac{d{\bf v}(t)}{dt}=e({\bf E}({\bf z})+{\bf v}×{\bf B}({\bf z}))$$

これで、静電場と静磁場中の電子が従う運動方程式が求められた。

まとめ

静磁場中に存在する電流にかかるアンペールの力から、静電場と静磁場中の電子が従う運動方程式が求めた。

参考文献

・砂川重信(1987)『物理テキストシリーズ4 電磁気学』,岩波書店.

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