静電場と静磁場中の電荷の運動方程式

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静磁場(時間変化しない磁場) ${\bf B}({\bf r})$ 中を、 $Δ{\bf r}$ 方向に流れる電流 $I$ にかかる力を、アンペールの力という。この力を ${\bf F}_B({\bf r})$ とおくと、次の式を満たす。

${\bf F}_B({\bf r})=IΔ{\bf r}×{\bf B}({\bf r})$

この式を使って、静電場と静磁場中の電荷が満たす運動方程式を導出する。

目次 [hide]

単位体積あたりの力 ${\bf f}_B$
- 電流密度 ${\bf i}$ について
2 静磁場と静電場の影響
${\bf f}$ の体積積分
4 運動方程式の構築
5 まとめ
6 参考文献

単位体積あたりの力 ${\bf f}_B$

上図の導線に電流 $I$ が流れているとする。さらに、導線上の位置を点で表したものを ${\bf r}$ 、 $Δ{\bf r}$ を位置 ${\bf r}$ における微小部分を表すベクトルとする。底面積 $ΔS$ を通過する電流 $I$ と、電流密度 ${\bf i}({\bf r})$ には、以下の関係が成り立つ。

$IΔ{\bf r}={\bf i}({\bf r})ΔSΔl$

一方、導線の単位体積当たりに働く力 ${\bf f}_B({\bf r})$ を考える。微小円筒の体積は $ΔSΔl$ だから、 ${\bf F}_B({\bf r})$ と ${\bf f}_B({\bf r})$ の関係式は、

${\bf F}_B({\bf r})={\bf f}_B({\bf r})ΔSΔl$

これらの式を上のアンペールの力の式に代入する。

${\bf f}_B({\bf r})={\bf i}({\bf r})×{\bf B}({\bf r})$

電流密度 ${\bf i}$ について

電流密度 ${\bf i}({\bf r})$ を、電荷密度 $ρ({\bf r})$ と電荷の速度 ${\bf v}$ で表すと、

${\bf i}({\bf r})=ρ({\bf r}){\bf v}$

これを上で求めた ${\bf f}_B$ の式に代入すると、

${\bf f}_B({\bf r})=ρ({\bf r}){\bf v}×{\bf B}({\bf r})$

電荷 $e$ が位置 ${\bf z}$ にあるときの電荷密度 $ρ$ をデルタ関数で表すと、 $ρ({\bf r})=eδ({\bf r}-{\bf z})$ になる。よって、

${\bf f}_B({\bf r})=eδ({\bf r}-{\bf z}){\bf v}×{\bf B}({\bf r})$

参考:デルタ関数と使用例

静磁場と静電場の影響

静電場 ${\bf E}$ 中の電荷密度 $ρ$ に働く力 ${\bf f}_E$ は、次のように表せた。

${\bf f}_E({\bf r})=ρ{\bf E}({\bf r})$

したがって、静電場と静磁場の両方の影響を考えた力 ${\bf f}={\bf f}_E+{\bf f}_B$ は、

${\bf f}({\bf r})=eδ({\bf r}-{\bf z})({\bf E}({\bf r})+{\bf v}×{\bf B}({\bf r}))$

${\bf f}$ の体積積分

${\bf f}$ は導線の単位体積当たりに働く力だったから、これを領域 $V$ で体積積分すると、領域 $V$ 全体に働く力が求まる。ただし今回の場合、 ${\bf f}$ はデルタ関数 $δ({\bf r}-{\bf z})$ を含んでいるため、電荷がある位置 ${\bf z}$ にしか力は働かないことがわかる。

$\begin{eqnarray} F&=&\int_V {\bf f}({\bf r}) d^3r\\&=&\int_V eδ({\bf r}-{\bf z})({\bf E}({\bf r})+{\bf v}×{\bf B}({\bf r}))d^3r\\&=&e({\bf E}({\bf z})+{\bf v}×{\bf B}({\bf z})) \end{eqnarray}$

この電荷に働く力 $F$ をローレンツ力という。

運動方程式の構築

最後に、運動方程式 $m\dot{v}=F$ に上で求めた $F$ を代入する。

$m\frac{d{\bf v}(t)}{dt}=e({\bf E}({\bf z})+{\bf v}×{\bf B}({\bf z}))$

これで、静電場と静磁場中の電子が従う運動方程式が求められた。

まとめ

静磁場中に存在する電流にかかるアンペールの力から、静電場と静磁場中の電子が従う運動方程式が求めた。

参考文献

・砂川重信(1987)『物理テキストシリーズ4 電磁気学』,岩波書店.

静電場と静磁場中の電荷の運動方程式

単位体積あたりの力 ${\bf f}_B$

電流密度 ${\bf i}$ について

静磁場と静電場の影響

${\bf f}$ の体積積分

運動方程式の構築

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