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仮想仕事とダランベールの原理

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[mathjax]

仮想仕事の原理

$$\displaystyle \sum_i {\bf F}_i･δ{\bf r}_i=0$$

ダランベールの原理

$$\displaystyle \sum_{ i } ({\bf F}_i-\dot{\bf p}_i)･δ{\bf r}_i=0$$

仮想仕事の原理

仮想変位\(δ{\bf r}_i\)とは、実際の変位から仮想的に無限小だけ動かした変位のことを指す。あくまで仮想的に動かしただけだから、実際に物体が\(δ{\bf r}_i\)だけ動いたわけではない。

今、物体に働く力\({\bf f}_i\)が釣り合っている場合を考える。数式で表すと、

$$\displaystyle \sum_i {\bf f}_i=0$$

仮想変位は無限小だから、物体が釣り合っている場所から仮想変位だけ動いても、物体に働く外力や束縛力は変化しないと考える。したがって、物体が力\({\bf f}_i\)に仮想変位\(δ{\bf r}_i\)だけされた仕事は、これらの内積\({\bf f}_i･δ{\bf r}_i\)で表現される。

上の物体が釣り合っている式より、仕事の和は0になる。

$$\displaystyle \sum_i {\bf f}_i･δ{\bf r}_i=0･･･(1)$$

力\({\bf f}_i\)は、束縛力\({\bf S}_i\)と粒子に働く外力\({\bf F}_i\)に分解される。

$${\bf f}_i={\bf F}_i+{\bf S}_i･･･(2)$$

式(1)に式(2)を代入する。

\begin{eqnarray} \displaystyle 0&=&\sum_i ({\bf F}_i+{\bf S}_i)･δ{\bf r}_i\\&=&\sum_i {\bf F}_i･δ{\bf r}_i+\sum_i {\bf S}_i･δ{\bf r}_i\end{eqnarray}

束縛力による仕事\({\bf S}_i･δ{\bf r}_i\)がすべて打ち消しあって0になると仮定する(このような拘束力を滑らかな束縛力と呼ぶ)。つまり、\(\displaystyle \sum_i {\bf S}_i･δ{\bf r}_i=0\)とすると、

$$\displaystyle \sum_i {\bf F}_i･δ{\bf r}_i=0$$

この式を仮想仕事の原理という。

ダランベールの原理

運動方程式

$$\dot{\bf p}_i={\bf f}_i$$

の左辺を移項する。

$${\bf f}_i-\dot{\bf p}_i=0$$

上の式から、次の式がつくれる。

$$\displaystyle \sum_{ i } ({\bf f}_i-\dot{\bf p}_i)･δ{\bf r}_i=0･･･(3)$$

式(3)に式(2)を代入すると、

$$\displaystyle \sum_{ i } ({\bf F}_i-\dot{\bf p}_i)･δ{\bf r}_i+\sum_{ i } {\bf S}_i･δ{\bf r}_i=0$$

前と同じように、束縛力による仕事\({\bf S}_i･δ{\bf r}_i\)がすべて打ち消しあうと仮定する。

$$\displaystyle \sum_{ i } ({\bf F}_i-\dot{\bf p}_i)･δ{\bf r}_i=0$$

この式をダランベールの原理という。

まとめ

・仮想変位という概念を導入することで、仮想仕事の原理とダランベールの原理を求めた。

参考文献

・Goldstein, Herbert. “Classical Mechanics.” 2nd ed. Reading, Mass: Addison-Wesley Publishing Company, 1980.

(題名を斜体にできないので” “でくくっています)

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