スカラーポテンシャル\(φ\)とベクトルポテンシャル\({\bf A}\)をまとめて電磁ポテンシャルと呼ぶ。
$${\bf E}(t,{\bf r})=-∇φ(t,{\bf r})-\frac{∂{\bf A}(t,{\bf r})}{∂t}$$
$${\bf B}(t,{\bf r})=∇×{\bf A}(t,{\bf r})$$
電場\({\bf E}(t,{\bf r})\)と磁束密度\({\bf B}(t,{\bf r})\)は、次のゲージ変換で不変である。
$${\bf A}→{\bf A}'(t,{\bf r})={\bf A}(t,{\bf r})+∇χ(t,{\bf r})$$
$$φ(t,{\bf r})→φ'(t,{\bf r})=φ(t,{\bf r})-\frac{∂}{∂t}χ(t,{\bf r})$$
目次
ゲージ変換の求め方
任意のベクトル\({\bf A}(t,{\bf r})\)に対して常に次の式が成り立つ。
$$∇･(∇×{\bf A}(t,{\bf r}))=0$$
したがって、\({\bf B}(t,{\bf r})=∇×{\bf A}(t,{\bf r})\)とおけば、次のMaxwell方程式になる。
$$∇･{\bf B}=0$$
また、次の別のMaxwell方程式を考える。
$$∇×{\bf E}(t,{\bf r})+\frac{∂{\bf B}(t,{\bf r})}{∂t}=0$$
\({\bf B}=∇×{\bf A}\)を導入する。
$$∇× \left( {\bf E}+\frac{∂{\bf A}}{∂t} \right)=0$$
任意のスカラー\(φ\)に対して次の式が成り立つ。
$$∇×(∇φ)=0$$
$$∇× \left( {\bf E}+\frac{∂{\bf A}}{∂t} \right)=-∇×(∇φ)$$
左側にある\(rot\)を外すと、
$$ {\bf E}+\frac{∂{\bf A}}{∂t} =-∇φ$$
ゲージ変換による電場・磁束密度の変換
上のゲージ変換の2つの式を電場・磁束密度に代入する。
電場のゲージ変換
\begin{eqnarray} {\bf E}(t,{\bf r})&→&{\bf E}'(t,{\bf r})\\&=&-∇φ'(t,{\bf r})-\frac{∂{\bf A}'(t,{\bf r})}{∂t}\\&=&-∇ \left( φ-\frac{∂}{∂t}χ \right) -\frac{∂}{∂t} \left( {\bf A}+∇χ \right) \\&=&-∇φ+\frac{∂}{∂t}∇χ-\frac{∂{\bf A}}{∂t} -\frac{∂}{∂t}∇χ\\&=&-∇φ-\frac{∂{\bf A}}{∂t}\\&=&{\bf E}(t,{\bf r}) \end{eqnarray}
よって、電場はゲージ変換に対して不変である。
磁束密度のゲージ変換
\begin{eqnarray} {\bf B}(t,{\bf r})&→&{\bf B}'(t,{\bf r})\\&=&∇×{\bf A}'(t,{\bf r})\\&=&∇× \left( {\bf A}+∇χ \right)\\&=&∇×{\bf A}+∇×(∇χ)\\&=&∇×{\bf A}\\&=&{\bf B}(t,{\bf r}) \end{eqnarray}
よって、磁束密度はゲージ変換に対して不変である。
電磁ポテンシャルが満たす方程式
電荷密度\(ρ\)を含む方程式
次のMaxwell方程式に、電場\(E\)を電磁ポテンシャルで表したものを代入する。
$$∇･{\bf E}(t,{\bf r})=\frac{1}{ε_0}ρ$$
\begin{eqnarray} ∇･{\bf E}&=&∇･\left( -∇φ-\frac{∂{\bf A}}{∂t} \right) \\&=&-∇^2φ-\frac{∂}{∂t}∇･{\bf A} \end{eqnarray}
以上より、ベクトルポテンシャルは次の方程式を満たす。
$$∇^2φ+\frac{∂}{∂t}∇･{\bf A}=-\frac{1}{ε_0}ρ$$
電流密度\({\bf j}\)を含む方程式
次のMaxwell方程式に、電場\(E\)と磁束密度\(B\)を電磁ポテンシャルで表したものを代入する。
$$∇×{\bf B}(t,{\bf r})-\frac{1}{c^2}\frac{∂}{∂t}{\bf E}(t,{\bf r})=μ_0{\bf j}(t,{\bf r})$$
\begin{eqnarray} ∇×{\bf B}-\frac{1}{c^2}\frac{∂}{∂t}{\bf E}&=&∇×(∇×{\bf A})-\frac{1}{c^2}\frac{∂}{∂t} \left( -∇φ-\frac{∂{\bf A}}{∂t} \right)\\&=&(∇(∇･{\bf A})-∇^2{\bf A})-\frac{1}{c^2}\frac{∂}{∂t} \left( -∇φ-\frac{∂{\bf A}}{∂t} \right)\\&=&-\left( ∇^2-\frac{1}{c^2}\frac{∂^2}{∂t^2} \right){\bf A}+∇ \left( ∇･{\bf A}+\frac{1}{c^2}\frac{∂}{∂t}φ \right) \end{eqnarray}
以上より、電磁ポテンシャルは次の方程式を満たす。
$$\left( ∇^2-\frac{1}{c^2}\frac{∂^2}{∂t^2} \right){\bf A}(t,{\bf r})-∇ \left( ∇･{\bf A}(t,{\bf r})+\frac{1}{c^2}\frac{∂}{∂t}φ(t,{\bf r}) \right)=-μ_0{\bf j}(t,{\bf r})$$
まとめ
・電磁ポテンシャルとゲージ変換がどう表されるか確認した。
・電磁ポテンシャルが満たす方程式を、Maxwell方程式をもとに導出した。
参考文献
・砂川重信(1987)『電磁気学 物理テキストシリーズ4』,岩波書店.
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