ブラケットベクトルと消滅演算子・生成演算子の関係まとめ

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消滅演算子 $\hat{a}$ は固有値を1つ下げ、生成演算子 $\hat{a}^†$ は固有値を1つ上げる性質をもつ。この記事では、下の7つの式の導出と、それらが意味することの確認を行う。

$\hat{n}\hat{a}φ_n=(n-1)\hat{a}φ_n・・・(1)$

$\hat{n}\hat{a}^†φ_n=(n+1)\hat{a}^†φ_n・・・(2)$

$\hat{a}|0>=0・・・(3)$

$\hat{n}|n>=n|n>・・・(4)$

$\hat{a}^†|n>=\sqrt{n+1}|n+1>・・・(5)$

$\hat{a}|n>=\sqrt{n}|n-1>・・・(6)$

$<m|n>=δ_{mn}・・・(7)$

参考:ブラベクトル・ケットベクトルの意味とは

参考:消滅演算子・生成演算子

式(1)について

$\hat{n}\hat{a}φ_n=(n-1)\hat{a}φ_n$

式(1)の導出

交換関係より、

$[\hat{n},\hat{a}]=\hat{n}\hat{a}-\hat{a}\hat{n}$

また、前の記事でこの交換関係の値を求めた。

$[\hat{n},\hat{a}]=-\hat{a}$

参考:消滅演算子・生成演算子の交換関係

これらの式から式(1)を導出する。

$\begin{eqnarray} \hat{n}\hat{a}φ_n&=&([\hat{n},\hat{a}]+\hat{a}\hat{n})φ_n\\&=&(-\hat{a}+\hat{a}\hat{n})φ_n \end{eqnarray}$

ここで、数演算子 $\hat{n}$ の固有値を $n$ とする。

$\hat{n}φ_n=nφ_n$

演算子は交換関係が0にならないことがあるため、むやみに $\hat{a}\hat{n}$ を $\hat{n}\hat{a}$ に置き換えたりできない。だから、固有方程式を使って演算子を固有値という数値に変換することで、 $\hat{a}$ と $n$ を入れ替えることができるようにする。

これを使って導出を進めると、式(1)が導出される。

$\begin{eqnarray} \hat{n}\hat{a}φ_n&=&(-\hat{a}+\hat{a}\hat{n})φ_n\\&=&(-\hat{a}+\hat{a}n)φ_n\\&=&(-\hat{a}+n\hat{a})φ_n\\&=&(n-1)\hat{a}φ_n \end{eqnarray}$

式(1)の意味

式(1)の $\hat{a}φ_n$ をまとめて1つの固有関数として見ると、 $\hat{n}$ が固有方程式の演算子、 $n$ が固有値とみなせる。ところが、 $\hat{n}φ_n=nφ_n$ から、 $\hat{n}$ は元々は固有値 $n$ に対する演算子であった。

以上のことから、消滅演算子 $\hat{a}$ は固有関数に作用することで、数演算子 $\hat{n}$ の固有値を1下げる性質をもつ。

固有関数 $φ_n$ が固有ベクトル $|λ>$ になっても同じように議論ができる。

式(2)について

$\hat{n}\hat{a}^†φ_n=(n+1)\hat{a}^†φ_n$

式(2)の導出

式(1)と同様に考えればよい。

$\begin{eqnarray} \hat{n}\hat{a}^†φ_n&=&([\hat{n},\hat{a}^†]+\hat{a}^†\hat{n})φ_n\\&=&(\hat{a}^†+\hat{a}^†\hat{n})φ_n\\&=&(\hat{a}^†+\hat{a}^†n)φ_n\\&=&(n+1)\hat{a}^†φ_n \end{eqnarray}$

式(2)の意味

式(2)の $\hat{a}^†φ_n$ をまとめて1つの固有関数として見ると、 $\hat{n}$ が固有方程式の演算子、 $n$ が固有値とみなせる。

以上のことから、生成演算子 $\hat{a}^†$ は固有関数に作用することで、数演算子 $\hat{n}$ の固有値を1上げる性質をもつ。

式(3)

$\hat{a}|0>=0$

式(3)の導出

$\hat{a}$ と $\hat{a}^†$ は、 $\hat{x}=\hat{x}^†$ ・ $\hat{p}=\hat{p}^†$ よりエルミートの関係だから、

$\begin{eqnarray} \hat{n}^†&=&(\hat{a}^†\hat{a})^†\\&=&\hat{a}^†\hat{a}\\&=&\hat{n} \end{eqnarray}$

よって、 $\hat{n}$ はエルミートである。

ここで、 $\hat{n}$ の期待値は次のように求められた。

$<φ|\hat{n}|φ>=<φ|\hat{a}^†\hat{a}|φ>$

参考:量子力学における期待値の求め方

この式より $<φ|\hat{n}|φ>$ は $\hat{a}|φ>$ のノルムを表しているから、 $\hat{n}$ の期待値は0か正のどちらかになるはずである。以上から、 $\hat{n}$ は非負定値となり、その固有値はすべて0か正となる。 $\hat{n}$ のような性質を非負定値エルミートと呼ぶ。

$n$ を演算子 $\hat{n}$ に対応する最小の固有値とする。これに対応する固有ベクトルを $|0>$ とおく。

$\hat{n}|0>=n|0>$

両辺の $|0>$ の前に消滅演算子 $\hat{a}$ を作用させる。

$\hat{n}\hat{a}|0>=n\hat{a}|0>・・・(8)$

ここで式(1)より、消滅演算子 $\hat{a}$ は固有ベクトルに作用することで固有値を1つ下げる性質を持っていた。よって、もし $\hat{a}|0>=0$ でなかったら、固有値 $n$ よりも低くてかつ固有方程式(8)を満たす固有値 $(n-1)$ が存在することになる。これは $n$ を最小の固有値とした仮定と矛盾する。

したがって、 $\hat{a}|0>=0$ が求められた。

式(3)の意味

導出中の定義より、 $|0>$ は最もエネルギーが低い状態(基底状態)を表している。この基底状態に消滅演算子を作用させると0になってしまう。

式(4)について

$\hat{n}|n>=n|n>$

式(4)の導出

これ以降、 $|0>$ は次の規格化条件を満たすとする。

$<0|0>=1$

$|n>$ を次のように定義する。ただし、 $n=0,1,2,…$

$|n>=\frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}^†)^n|0>$

式(3)より、

$\begin{eqnarray} \hat{n}|0>&=&\hat{a}^†\hat{a}|0>\\&=&\hat{a}^†･0\\&=&0 \\&=&0|0>\end{eqnarray}$

この式から、固有ベクトル $|0>$ に対する数演算子 $\hat{n}$ の固有値は $0$ である。

次に、固有ベクトル $|0>$ に生成演算子 $\hat{a}^†$ を $n$ 回作用させた場合を考える。生成演算子を作用させるたびに固有値が1上がることを考慮すると、固有値は $n$ になる。

以上から、固有値 $n$ と固有ベクトル $|n>$ の $n$ の値が対応することが明らかになった。

$\hat{n}|n>=n|n>$

式(4)の意味

固有値 $n$ と固有ベクトル $|n>$ で、 $n$ の値は等しくなっている。

式(5)について

$\hat{a}^†|n>=\sqrt{n+1}|n+1>$

式(5)の導出

$\begin{eqnarray} \hat{a}^†|n>&=&\hat{a}^†\frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}^†)^n|0>\\&=&\sqrt{n+1}\frac{1}{\sqrt{n+1}}\frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}^†)^{n+1}|0>\\&=&\sqrt{n+1}\frac{1}{\sqrt{(n+1)!}}(\hat{a}^†)^{n+1}|0>\\&=&\sqrt{n+1}|n+1> \end{eqnarray}$

式(5)の意味

生成演算子 $\hat{a}^†$ を固有ベクトルに作用させると、固有ベクトルの中の値が1増える。

式(6)について

$\hat{a}|n>=\sqrt{n}|n-1>$

式(6)の導出

式(5)で、 $n$ を $n-1$ とおく。

$\hat{a}^†|n-1>=\sqrt{n}|n>$

この式の両辺に消滅演算子 $\hat{a}$ を左から作用させる。

$\hat{a}\hat{a}^†|n-1>=\sqrt{n}\hat{a}|n>$

この式の左辺を交換関係を使って計算する。

$\begin{eqnarray} \hat{a}\hat{a}^†|n-1>&=&([\hat{a},\hat{a}^†]+\hat{a}^†\hat{a})|n-1>\\&=&(1+\hat{n})|n-1>\\&=&n|n-1> \end{eqnarray}$

式を整理すると、式(6)が求められる。

式(6)の意味

消滅演算子 $\hat{a}$ を固有ベクトルに作用させると、固有ベクトルの中の値が1減る。

式(7)について

$<m|n>=δ_{mn}$

式(7)の導出

式(6)の両辺のノルムをとる。

$<n|\hat{a}^†\hat{a}|n>=n<n-1|n-1>$

この式の左辺は、数演算子 $\hat{n}$ を含むから、

$\begin{eqnarray} <n|\hat{a}^†\hat{a}|n>&=&<n|\hat{n}|n>\\&=&<n|n|n>\\&=&n<n|n> \end{eqnarray}$

したがって、

$<n|n>=<n-1|n-1>$

この式から、 $<n|n>$ は $n$ の値にかかわらず同じ値になる。式(4)の導出中に、 $|0>$ は規格化条件 $<0|0>=1$ を満たすと仮定したから、

$<n|n>=<0|0>=1$

もし $m≠n$ ならば、 $|m>$ と $|n>$ は $\hat{n}$ に対して異なる固有値を持つ。したがって、 $<m|n>=0$

参考文献

・猪木慶治・川合光(1994)『量子力学I』,講談社.

・A.メシア(1972)『メシア量子力学 2』(小出昭一郎・田村二郎訳),東京図書株式会社.

ブラケットベクトルと消滅演算子・生成演算子の関係まとめ

式(1)について

式(1)の導出

式(1)の意味

式(2)について

式(2)の導出

式(2)の意味

式(3)

式(3)の導出

式(3)の意味

式(4)について

式(4)の導出

式(4)の意味

式(5)について

式(5)の導出

式(5)の意味

式(6)について

式(6)の導出

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式(7)について

式(7)の導出

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