フェルミ粒子とボーズ粒子の波動関数の導出

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シュレディンガー方程式を使えば、なぜボーズ粒子とフェルミ粒子の2種類の粒子が存在するのかがわかる。

この記事では、2粒子系のシュレディンガー方程式からわかる波動関数の対称性・反対称性から、ボーズ粒子とフェルミ粒子の波動関数を導出する。

ボーズ粒子・フェルミ粒子とは

ボーズ粒子とは、入れ替えに対して対称な粒子のことである。具体的には光子が挙げられる。

一方フェルミ粒子とは、入れ替えに対して反対称な粒子のことを指す。具体的には電子が挙げられる。

ボーズ粒子とフェルミ粒子の波動関数の導出

今回の2粒子系の確認

上の図のような同種の2つの粒子のみで構成された系を考える。この2粒子の状態を、まとめて波動関数Ψ(r1,r2)で表す。

これ以降、Ψ(r1,r2)を簡単にΨ(1,2)と表すことにする。

参考:シュレディンガー方程式を解く意味とは

今回は簡単のため、粒子間の相互作用を無視する。

系のハミルトニアンの導出

今回の2粒子系全体の固有エネルギーEを導入すると、この系のシュレディンガー方程式は次のように書ける。

[ħ22m21(1)ħ22m22(2)+V0(1,2)]Ψ(1,2)=EΨ(1,2)

ただし、粒子間の相互作用を無視するため、2粒子系全体のポテンシャルエネルギーは、それぞれの粒子のポテンシャルエネルギーの和となる。

V0(1,2)=V1(1)+V2(2)

粒子1のハミルトニアンは

ˆH1=ħ22m21(1)+V1(1)

粒子2のハミルトニアンは

ˆH2=ħ22m22(2)+V2(2)

であるため、以上を考慮すると、最初のシュレディンガー方程式は次のように変形できる。

(ˆH1+ˆH2)Ψ(1,2)=EΨ(1,2)

この式から、この系全体のハミルトニアンˆHは、それぞれの粒子のハミルトニアンの和となる。

ˆH=ˆH1+ˆH2

系の固有エネルギーの導出

前提

粒子1がαという状態、粒子2がβという状態であると仮定する。ここでいう状態とは、量子数やスピンの状態のことを指す(つまり、量子数やスピンといった情報を、見栄えのためαβという文字で置き換えただけ)。

これを考慮すると、それぞれの粒子で、次のシュレディンガー方程式が成立する。

ˆH1φα(1)=E1φα(1)
ˆH2φβ(2)=E2φβ(2)

本題

ˆHを導入すると、系のシュレディンガー方程式は次のようになる。

ˆHΨ(1,2)=EΨ(1,2)

ここで、波動関数Ψ(1,2)を変数分離させる。粒子の状態がαである場合とβである場合の波動関数をそれぞれφα,φβで表すと、その変数分離は次のように書ける。

Ψ(1,2)=φα(1)φβ(2)

この変数分離とそれぞれの粒子のハミルトニアンを、シュレディンガー方程式に代入する。

(ˆH1+ˆH2)φα(1)φβ(2)=Eφα(1)φβ(2)(1)

左辺を変形させる。粒子1のハミルトニアンˆH1は粒子2の関数φβ(2)には作用せず、同様にˆH2φα(1)に作用しない。

()=(ˆH1φα(1))φβ(2)+φα(1)(ˆH2φβ(2))=E1φα(1)φβ(2)+E2φα(1)φβ(2)=(E1+E2)φα(1)φβ(2)

以上より、2粒子系の固有エネルギーEは、それぞれの粒子の固有エネルギーの和となる。

E=E1+E2

粒子の入れ替えと波動関数φの対称性・反対称性

粒子1と粒子2を入れ替えると、2粒子系の固有エネルギーEはどうなるだろうか。ここでは粒子1が状態βをとり、かつ粒子2が状態αをとる場合を考える。

まず、それぞれの粒子で、次のシュレディンガー方程式が成り立つだろう。

ˆH1φβ(1)=E1φβ(1)
ˆH2φα(2)=E2φα(2)

また、ここでは1と2を入れ替えるため、波動関数はΨ(2,1)となる。

ˆHΨ(2,1)=EΨ(2,1)

ただし、波動関数Ψ(2,1)について、

Ψ(2,1)=φα(2)φβ(1)

である。次に、このシュレディンガー方程式を前と同じように変形させる。

(ˆH1+ˆH2)φα(2)φβ(1)=Eφα(2)φβ(1)

そして、この式の左辺は次のように変形できる。

()=(ˆH1+ˆH2)φα(2)φβ(1)=φα(2)(ˆH1φβ(1))+(ˆH2φα(2))φβ(1)=(E1+E2)φα(2)φβ(1)

以上より、粒子を入れ替えても

E=E1+E2

が成り立つことが分かった。

このことは、Ψ(1,2)Ψ(2,1)はどちらも、ハミルトンˆHに対して同じ固有エネルギーをつくることを意味している。

ˆHΨ(1,2)=EΨ(1,2)
ˆHΨ(2,1)=EΨ(2,1)

つまり、Ψ(1,2)Ψ(2,1)は同じ量子状態をつくると言い換え可能だ。したがって、Ψ(1,2)Ψ(2,1)の関数形が同じになる。(そもそも粒子1と粒子2は同種の粒子のため、両者の区別がつかない。このことからも、Ψ(1,2)Ψ(2,1)の関数形が同じだといえる。)

両者の関数形が同じであるため、定数Cを導入すると、次の関係を得る。

Ψ(1,2)=CΨ(2,1)

もう一度入れ替えると、

Ψ(1,2)=C2Ψ(1,2)

となる。

この式から、定数Cは、1,+1のどちらかとなる。

C=±1

このことからΨ(1,2)は、C=+1の場合は対称性、

Ψ(1,2)=Ψ(2,1)

C=1の場合は反対称性

Ψ(1,2)=Ψ(2,1)

をもつ。

さらに、Ψ(1,2)Ψ(2,1)がシュレディンガー方程式の固有関数になれることから、それらの線形結合

C1Ψ(1,2)+C2Ψ(2,1)=C1φα(1)φβ(2)+C2φα(2)φβ(1)

もまた、そのシュレディンガー方程式の固有関数になれる。

線形和の規格化条件

1=|Ψ(r1,r2)|2dr1dr2=Ψ(r1,r2)Ψ(r1,r2)dr1dr2=(C1φα(1)φβ(2)+C2φα(2)φβ(1))(C1φα(1)φβ(2)+C2φα(2)φβ(1))dr1dr2=(C1φα(1)φβ(2)+C2φα(2)φβ(1))(C1φα(1)φβ(2)+C2φα(2)φβ(1))dr1dr2=(C1C1φα(1)φα(1)φβ(2)φβ(2)+C1φα(1)φβ(2)C2φα(2)φβ(1)+C2φα(2)φβ(1)C1φα(1)φβ(2)+C2C2φα(2)φα(2)φβ(1)φβ(1))dr1dr2=(|C1|2φα(1)φα(1)φβ(2)φβ(2)+C1φα(1)φβ(2)C2φα(2)φβ(1)+C2φα(2)φβ(1)C1φα(1)φβ(2)+|C2|2φα(2)φα(2)φβ(1)φβ(1))dr1dr2
()=|C1|2φα(1)φα(1)φβ(2)φβ(2)dr1dr2=|C1|2φα(1)φα(1)dr1φβ(2)φβ(2)dr2=|C1|211=|C1|2
()=C1φα(1)φβ(2)C2φα(2)φβ(1)dr1dr2=C1C2φα(1)φβ(1)dr1φβ(2)φα(2)dr2=C1C200=0
()=C2φα(2)φβ(1)C1φα(1)φβ(2)dr1dr2=C2C1φβ(1)φα(1)dr1φα(2)φβ(2)dr2=C2C1φβ(1)φα(1)dr1φα(2)φβ(2)dr2=C2C100=0
()=|C2|2φα(2)φα(2)φβ(1)φβ(1)dr1dr2=|C2|2φβ(1)φβ(1)dr1φα(2)φα(2)dr2=|C2|211=|C2|2

以上より、求める規格化条件は、

1=|C1|2+|C2|2

対称関数の場合(ボーズ粒子)

Ψ(1,2)が対称関数

Ψ(1,2)=Ψ(2,1)

の場合、

C1=C2

となる。したがって、求める波動関数は、次のようになる。

Ψ(1,2)=12[φα(1)φβ(2)+φα(2)φβ(1)]

このような波動関数をとる粒子をボーズ粒子とよぶ。

反対称関数の場合(フェルミ粒子)

一方、Ψ(1,2)が反対称関数

Ψ(1,2)=Ψ(2,1)

の場合、

C1=C2

となる。

したがって、求める波動関数は、次のようになる。

Ψ(1,2)=12[φα(1)φβ(2)φα(2)φβ(1)]

このような波動関数をとる粒子をフェルミ粒子とよぶ。

パウリの排他律とフェルミ粒子

パウリの排他律とは、同じ量子状態をとれるフェルミ粒子は1つのみというものである。これを、上の反対称の波動関数から考察する。

この排他律は、パウリ自身の研究結果を証明するために提唱された原理である。そのため、実験結果に合わせるためには、2つの粒子が同じ状態をとるときの波動関数を0と定義する必要がある。

両方の粒子が同じ状態αをとると仮定すると、反対称の波動関数Ψ(1,2)は、

Ψ(1,2)=12[φα(1)φα(2)φα(2)φα(1)]0

となる。

おまけ スレイター行列

フェルミ粒子の波動関数をよく見ると、行列式に書き直せそうだ。

Ψ(1,2)=12|φα(1)φα(2)φβ(1)φβ(2)|

このような行列式をスレイター行列とよぶ。この行列は、他の多粒子系にも応用可能であり、例えば3粒子系のフェルミ粒子の波動関数は、次のようになる。

Ψ=13!|φα(1)φα(2)φα(3)φβ(1)φβ(2)φβ(3)φγ(1)φγ(2)φγ(3)|

まとめ

・2粒子系のシュレディンガー方程式から、ボーズ粒子とフェルミ粒子が満たす波動関数をそれぞれ求めた。

・フェルミ粒子の波動関数から、パウリの排他律を考察した。

参考文献

・村上雅人(2008)『なるほど量子力学III』,海鳴社.

・Eisberg, Robert Martin(1985) “Quantum physics of atoms, molecules, solids, nuclei, and particles,” New York : Wiley. 2nd ed.

(題名を斜体にできないので” “でくくっています)

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