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シュレディンガー方程式を使えば、なぜボーズ粒子とフェルミ粒子の2種類の粒子が存在するのかがわかる。
この記事では、2粒子系のシュレディンガー方程式からわかる波動関数の対称性・反対称性から、ボーズ粒子とフェルミ粒子の波動関数を導出する。
目次 [hide]
ボーズ粒子・フェルミ粒子とは
ボーズ粒子とは、入れ替えに対して対称な粒子のことである。具体的には光子が挙げられる。
一方フェルミ粒子とは、入れ替えに対して反対称な粒子のことを指す。具体的には電子が挙げられる。
ボーズ粒子とフェルミ粒子の波動関数の導出
今回の2粒子系の確認
上の図のような同種の2つの粒子のみで構成された系を考える。この2粒子の状態を、まとめて波動関数Ψ(r1,r2)で表す。
これ以降、Ψ(r1,r2)を簡単にΨ(1,2)と表すことにする。
今回は簡単のため、粒子間の相互作用を無視する。
系のハミルトニアンの導出
今回の2粒子系全体の固有エネルギーEを導入すると、この系のシュレディンガー方程式は次のように書ける。
ただし、粒子間の相互作用を無視するため、2粒子系全体のポテンシャルエネルギーは、それぞれの粒子のポテンシャルエネルギーの和となる。
粒子1のハミルトニアンは
粒子2のハミルトニアンは
であるため、以上を考慮すると、最初のシュレディンガー方程式は次のように変形できる。
この式から、この系全体のハミルトニアンˆHは、それぞれの粒子のハミルトニアンの和となる。
系の固有エネルギーの導出
前提
粒子1がαという状態、粒子2がβという状態であると仮定する。ここでいう状態とは、量子数やスピンの状態のことを指す(つまり、量子数やスピンといった情報を、見栄えのためαやβという文字で置き換えただけ)。
これを考慮すると、それぞれの粒子で、次のシュレディンガー方程式が成立する。
本題
ˆHを導入すると、系のシュレディンガー方程式は次のようになる。
ここで、波動関数Ψ(1,2)を変数分離させる。粒子の状態がαである場合とβである場合の波動関数をそれぞれφα,φβで表すと、その変数分離は次のように書ける。
この変数分離とそれぞれの粒子のハミルトニアンを、シュレディンガー方程式に代入する。
左辺を変形させる。粒子1のハミルトニアンˆH1は粒子2の関数φβ(2)には作用せず、同様にˆH2はφα(1)に作用しない。
以上より、2粒子系の固有エネルギーEは、それぞれの粒子の固有エネルギーの和となる。
粒子の入れ替えと波動関数φの対称性・反対称性
粒子1と粒子2を入れ替えると、2粒子系の固有エネルギーEはどうなるだろうか。ここでは粒子1が状態βをとり、かつ粒子2が状態αをとる場合を考える。
まず、それぞれの粒子で、次のシュレディンガー方程式が成り立つだろう。
また、ここでは1と2を入れ替えるため、波動関数はΨ(2,1)となる。
ただし、波動関数Ψ(2,1)について、
である。次に、このシュレディンガー方程式を前と同じように変形させる。
そして、この式の左辺は次のように変形できる。
以上より、粒子を入れ替えても
が成り立つことが分かった。
このことは、Ψ(1,2)とΨ(2,1)はどちらも、ハミルトンˆHに対して同じ固有エネルギーをつくることを意味している。
つまり、Ψ(1,2)とΨ(2,1)は同じ量子状態をつくると言い換え可能だ。したがって、Ψ(1,2)とΨ(2,1)の関数形が同じになる。(そもそも粒子1と粒子2は同種の粒子のため、両者の区別がつかない。このことからも、Ψ(1,2)とΨ(2,1)の関数形が同じだといえる。)
両者の関数形が同じであるため、定数Cを導入すると、次の関係を得る。
もう一度入れ替えると、
となる。
この式から、定数Cは、−1,+1のどちらかとなる。
このことからΨ(1,2)は、C=+1の場合は対称性、
C=−1の場合は反対称性
をもつ。
さらに、Ψ(1,2)とΨ(2,1)がシュレディンガー方程式の固有関数になれることから、それらの線形結合
もまた、そのシュレディンガー方程式の固有関数になれる。
線形和の規格化条件
以上より、求める規格化条件は、
対称関数の場合(ボーズ粒子)
Ψ(1,2)が対称関数
の場合、
となる。したがって、求める波動関数は、次のようになる。
このような波動関数をとる粒子をボーズ粒子とよぶ。
反対称関数の場合(フェルミ粒子)
一方、Ψ(1,2)が反対称関数
の場合、
となる。
したがって、求める波動関数は、次のようになる。
このような波動関数をとる粒子をフェルミ粒子とよぶ。
パウリの排他律とフェルミ粒子
パウリの排他律とは、同じ量子状態をとれるフェルミ粒子は1つのみというものである。これを、上の反対称の波動関数から考察する。
この排他律は、パウリ自身の研究結果を証明するために提唱された原理である。そのため、実験結果に合わせるためには、2つの粒子が同じ状態をとるときの波動関数を0と定義する必要がある。
両方の粒子が同じ状態αをとると仮定すると、反対称の波動関数Ψ(1,2)は、
となる。
おまけ スレイター行列
フェルミ粒子の波動関数をよく見ると、行列式に書き直せそうだ。
このような行列式をスレイター行列とよぶ。この行列は、他の多粒子系にも応用可能であり、例えば3粒子系のフェルミ粒子の波動関数は、次のようになる。
まとめ
・2粒子系のシュレディンガー方程式から、ボーズ粒子とフェルミ粒子が満たす波動関数をそれぞれ求めた。
・フェルミ粒子の波動関数から、パウリの排他律を考察した。
参考文献
・村上雅人(2008)『なるほど量子力学III』,海鳴社.
・Eisberg, Robert Martin(1985) “Quantum physics of atoms, molecules, solids, nuclei, and particles,” New York : Wiley. 2nd ed.
(題名を斜体にできないので” “でくくっています)