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ここでいう分布関数とは、とあるエネルギー準位に入る粒子の量を表すもので、エネルギーと粒子数のグラフで表現される。そして、粒子にはボーズ粒子とフェルミ粒子の2種類存在するが、それぞれの分布関数は異なる。
ボーズ粒子の分布関数のことをボーズ分布関数またはボーズ-アインシュタイン分布、またフェルミ粒子の分布関数のことをフェルミ分布関数またはフェルミ-ディラック分布とよぶ。
この記事では、大分配関数を使って、それぞれの分布関数を導出する。
統計力学
大分配関数とグランドカノニカル分布の導出
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統計力学の分布には、カノニカル分布のほかに、グランドカノニカル分布というものがある。カノニカル分布では、系と熱浴間で熱しか移動できない場合を考えた。一方グランドカノニカル分布では、熱だけでなく、粒子の移動も考慮することができる。
この記事では、グランドカノニカル分布と大分配関数の導出と、それらとカノニカル分布、分配関数との違いを考える。導出の流れはカノニカル分布と分配関数のときとほとんど同じなので、先にカノニカル分布の導出の記事を読んでおくとわかりやすいだろう。
分配関数を用いた2準位系のエネルギーの考察
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分配関数を使えば、2準位系の集合体の内部エネルギー\(E\)とヘルムホルツの自由エネルギー\(F\)を求めることができる。
2準位系の例として、平行磁場中の粒子のスピン(自転)が挙げられる。この記事では、この磁場中の粒子の集合体のエネルギーを、分配関数を使って求める。
カノニカル分布による自由エネルギーの導出
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カノニカル分布を使えば、分配関数\(Z\)と内部エネルギー\(E\)、分配関数\(Z\)とヘルムホルツの自由エネルギー\(F\)の関係式がそれぞれ求まる。これによって、もし系の分配関数がわかれば、系の内部エネルギーとヘルムホルツの自由エネルギーも同時に求められるようになる。
この記事では、カノニカル分布をもとに、これらの関係式を求める。
分配関数とカノニカル分布の導出
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分配関数\(Z\)を定義することで、系のヘルムホルツの自由エネルギー\(F\)と内部エネルギー\(E\)が簡単に求まる。
この記事では、その前段階として、カノニカル分布(正準分布)と分配関数\(Z\)を導出する。
ボルツマンの関係式の導出
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熱力学では、系を巨視的に観察することで、乱雑さを表すエントロピー\(S\)を定義した。一方統計力学では、系を微視的に観察したときの現象を考える。この記事では、微視的に系を観察することで、統計力学的にエントロピーについて考えていく。