平面波と等位相面とは―波動方程式からsin波を導出する

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上の図では、同形の青い波が、奥にも複数存在する様子を表している。このような波では等位相面は平面になるため、図中の青い波は平面波と呼ばれる。

等位相面とは、同じ位相の場所を通り、かつ波の進行方向に対して垂直になるような面のことである。上の図では、波の頂上を通るような等位相面を赤い平面で表している。

この記事では、波動方程式から平面波を導出する。

目次 [hide]

1 次元ごとの平面波の式
- - 1.0.1 一次元の平面波の式
  - 1.0.2 三次元の平面波の式
2 波動方程式と平面波の数式
- 関数 $f(x-vt)$ と $g(x+vt)$ の例
- 2.2 三次元の平面波の式
3 まとめ
4 参考文献

次元ごとの平面波の式

一次元の平面波の式

$ψ(x,t)=Acos(kx-ωt)$

$A$ :振幅　 $k$ :波数(単位長さあたりの波の数)　 $ω$ :角振動数

三次元の平面波の式

$ψ({\bf r}, t)=Acos({\bf k}･{\bf r}-ωt)$

${\bf k}$ :波数ベクトル(波の進行方向を向く)

この波の式は、波数ベクトルの方向に、一定の間隔で波が現れることを表している。

波動方程式と平面波の数式

波動方程式は、変位を $ψ$ とすると、次のように書ける。

$\frac{∂^2ψ}{∂t^2}=v^2\frac{d^2ψ}{dx^2}･･･(1)$

参考:波動方程式を弦の振動から導出してみた

この右辺を移項して、因数分解する。

$\left(\frac{∂}{∂t}+v\frac{∂}{dx}\right)\left(\frac{∂}{∂t}-v\frac{∂}{dx}\right)ψ=0$

左辺の2つのカッコ内のどちらかが0ならば、等式が成立する。

$\left(\frac{∂}{∂t}+v\frac{∂}{dx}\right)ψ=0･･･(2)$

$\left(\frac{∂}{∂t}-v\frac{∂}{dx}\right)ψ=0･･･(3)$

関数 $ψ$ の変数について、式(2)は $ψ=f(x-vt)$ 、式(3)は $ψ=g(x+vt)$ とおけば、それぞれの式を満たす。したがって、波動方程式の一般解はこれらの和で表されるから、一般解 $ψ(x,t)$ は次のように書ける。

$ψ(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$

$f(x-vt)$ は速さ $v$ でx軸方向に進む波、 $g(x+vt)$ は速さ $v$ でx軸とは逆方向に進む波を表している。

関数 $f(x-vt)$ と $g(x+vt)$ の例

波動方程式を満たす関数の例として、複素定数 $\hat{A}$ を使った次の式が挙げられる。

$ψ(x,t)=\hat{A}e^{ik(x-vt)}･･･(4)$

この式(4)の右辺は変数 $(x-vt)$ を含んでいるため、 $f(x-vt)$ に対応する。式(4)を波動方程式である式(1)に代入すれば、式(4)が波動方程式を満たすことを確認できる。

これに加えて、次の関係を導入する。

$ω=\pm vk$

このような角振動数 $ω$ と波数 $k$ の関係式を、分散関係という。上の式は平面波の分散関係を表している。この角振動数を式(4)に代入する。

$ψ(x,t)=\hat{A}e^{i(kx-ωt)}$

後は関数 $ψ(x,t)$ の実部をとると、よく見る三角関数を使った波動関数の式が求まる。

$ψ(x,t)=Re\left[\hat{A}\right]cos(kx-ωt)$

三次元の平面波の式

式(1)は $x$ 軸についての波動方程式であるが、この波動方程式は $y$ 軸と $z$ 軸でも同様に成り立つ。

すべての軸における波動方程式をまとめると、位置ベクトル $\bf r$ を使った3次元の波動方程式が求まる。

$\frac{∂^2ψ({\bf r},t)}{∂t^2}=v^2∇^2ψ({\bf r},t)$

この3次元の波動方程式について、 $x$ 軸の波動方程式と同じように考えると、3次元の波動関数が求まる。

$ψ(x,t)=\hat{A}e^{i({\bf k}･{\bf r}-ωt)}･･･(5)$

ここで、 $\bf k$ は波数ベクトルである。

${\bf k}=\left(\begin{array}{c}k_x\\k_y\\k_z\end{array}\right)$

波数ベクトルの成分 $k_x,k_y,k_z$ は、それぞれx軸、y軸、z軸における波数である。

式(5)の波動関数の実部をとると、

$ψ(x,t)=Re\left[\hat{A}\right]cos({\bf k}･{\bf r}-ωt)$

まとめ

・等位相面と平面波の説明をした。

・平面波の波動関数を考えた。

参考文献

・長谷川修司(2009)『講談社基礎物理学シリーズ2 振動・波動』,講談社.

平面波と等位相面とは―波動方程式からsin波を導出する

次元ごとの平面波の式

一次元の平面波の式

三次元の平面波の式

波動方程式と平面波の数式

関数 $f(x-vt)$ と $g(x+vt)$ の例

三次元の平面波の式

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