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圧縮率κ
等温圧縮率κT
体積弾性率kT
体膨張率α
圧縮率κとは
体積Vの全微分
液体や気体のように等方的な物体において、体積Vは、圧力pと温度Tの関数として表される。
V=V(p,T)
したがってVの全微分dVは、
(∂V∂p)TはTを固定した状態でのp微分、(∂V∂T)pはpを固定した状態でのT微分を表す。
圧縮率κの定義
温度Tが一定のとき、物体の周囲の圧力dpが上がるにつれて、体積の変化の割合dV/Vは一次関数的に減少していく。逆に、周囲の圧力が下がっていくと、体積の変化の割合は一次関数的に増加する。この比例定数−κを圧縮率と呼ぶ。
式(1)より、圧力が増加する(dp>0)と、体積の変化の割合は負((dV/V)<0)になる。これは、物体が収縮していることを表す。
式(1)のマイナスについて
まず、圧縮率κは正で定義したい。ところが、もし式(1)の右辺にマイナスがついていなかったら、圧力が増えるたびに体積も増えることになる。もちろんこんなことは現実的にあり得ない。だから、式(1)の右辺にマイナスをつけて、現実の物理現象に従う式を完成させた。
等温圧縮率κTと体積弾性率kT
一方、体積の全微分の式で温度一定dT=0とすると、次の式が現れる。
式(1)(2)を比較することで、
このκTを等温圧縮率と呼ぶ。
また、この圧縮率の逆数を体積弾性率という。
体膨張率α
今度は圧力を一定にして、温度を上げていった場合を考える。まずは体積の全微分の式にdT=0を代入する。
圧力pが一定のとき、温度dTが上がるにつれて、体積の変化の割合dV/Vは一次関数的に増加していく。逆に、周囲の温度が下がっていくと、体積の変化の割合は一次関数的に減少する。この比例定数を体膨張率と呼ぶ。
今度は右辺にマイナスをつけなくても、現実の物理現象に沿った式になっている。
体積を一定とした場合
ここでは、体積を一定として、圧力と温度を変化させたときの現象を考える。
体積の全微分の式にdV=0を代入して整理する。
両辺を(∂V∂p)TdTで割る。
今は体積一定の過程を考えているため、左辺に添え字Vがつくことに気を付ける。
また、右辺の(∂V∂T)pは体膨張率α、−(∂V∂p)Tは等温圧縮率κTを表しているため、これらを代入すると、
まとめ
・圧縮率の意味と、等温圧縮率と体積弾性率の関係、体膨張率について触れた。
・体積が一定の過程における圧力のふるまいを、数式で考えた。
参考文献
・三宅哲(1994)『熱力学』,裳華房.
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