熱力学における圧縮率・体積弾性率・体膨張率とは

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圧縮率\(κ\)

$$\frac{dV}{V}=-κdp$$

等温圧縮率\(κ_T\)

$$κ_T=-\frac{1}{V} \left( \frac{∂V}{∂p} \right) _T$$

体積弾性率\(k_T\)

$$k_T=-V \left( \frac{∂p}{∂V} \right)_T$$

体膨張率\(α\)

$$α=\frac{1}{V} \left( \frac{∂V}{∂T} \right)_p $$

圧縮率\(κ\)とは

体積\(V\)の全微分

液体や気体のように等方的な物体において、体積\(V\)は、圧力\(p\)と温度\(T\)の関数として表される。

$$V=V(p,T)$$

したがって\(V\)の全微分\(dV\)は、

$$dV=\left( \frac{∂V}{∂p} \right)_T dp+ \left( \frac{∂V}{∂T} \right)_p dT$$

\(\left( \frac{∂V}{∂p} \right)_T\)は\(T\)を固定した状態での\(p\)微分、\(\left( \frac{∂V}{∂T} \right)_p\)は\(p\)を固定した状態での\(T\)微分を表す。

圧縮率\(κ\)の定義

温度\(T\)が一定のとき、物体の周囲の圧力\(dp\)が上がるにつれて、体積の変化の割合\(dV/V\)は一次関数的に減少していく。逆に、周囲の圧力が下がっていくと、体積の変化の割合は一次関数的に増加する。この比例定数\(-κ\)を圧縮率と呼ぶ。

$$\frac{dV}{V}=-κdp・・・(1)$$

式(1)より、圧力が増加する(\(dp>0\))と、体積の変化の割合は負(\((dV/V)<0\))になる。これは、物体が収縮していることを表す。

式(1)のマイナスについて

まず、圧縮率\(κ\)は正で定義したい。ところが、もし式(1)の右辺にマイナスがついていなかったら、圧力が増えるたびに体積も増えることになる。もちろんこんなことは現実的にあり得ない。だから、式(1)の右辺にマイナスをつけて、現実の物理現象に従う式を完成させた。

等温圧縮率\(κ_T\)と体積弾性率\(k_T\)

一方、体積の全微分の式で温度一定\(dT=0\)とすると、次の式が現れる。

$$dV=\left( \frac{∂V}{∂p} \right)_T dp・・・(2)$$

式(1)(2)を比較することで、

$$κ_T=-\frac{1}{V}\left( \frac{∂V}{∂p} \right)_T$$

この\(κ_T\)を等温圧縮率と呼ぶ。

また、この圧縮率の逆数を体積弾性率という。

$$k_T=-V \left( \frac{∂p}{∂V} \right)_T$$

体膨張率\(α\)

今度は圧力を一定にして、温度を上げていった場合を考える。まずは体積の全微分の式に\(dT=0\)を代入する。

$$dV=\left( \frac{∂V}{∂T} \right)_p dT$$

圧力\(p\)が一定のとき、温度\(dT\)が上がるにつれて、体積の変化の割合\(dV/V\)は一次関数的に増加していく。逆に、周囲の温度が下がっていくと、体積の変化の割合は一次関数的に減少する。この比例定数を体膨張率と呼ぶ。

$$α=\frac{1}{V} \left( \frac{∂V}{∂T} \right)_p $$

今度は右辺にマイナスをつけなくても、現実の物理現象に沿った式になっている。

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体積を一定とした場合

ここでは、体積を一定として、圧力と温度を変化させたときの現象を考える。

体積の全微分の式に\(dV=0\)を代入して整理する。

$$\left( \frac{∂V}{∂p} \right)_T dp=-\left( \frac{∂V}{∂T} \right)_p dT$$

両辺を\(\left( \frac{∂V}{∂p} \right)_T dT\)で割る。

$$\left( \frac{dp}{dT} \right)_V =-\frac{\left( \frac{∂V}{∂T} \right)_p}{\left( \frac{∂V}{∂p} \right)_T} $$

今は体積一定の過程を考えているため、左辺に添え字\(V\)がつくことに気を付ける。

また、右辺の\(\left( \frac{∂V}{∂T} \right)_p\)は体膨張率\(α\)、\(-\left( \frac{∂V}{∂p} \right)_T\)は等温圧縮率\(κ_T\)を表しているため、これらを代入すると、

$$\left( \frac{dp}{dT} \right)_V =\frac{α}{κ_T}=αk_T$$

まとめ

・圧縮率の意味と、等温圧縮率と体積弾性率の関係、体膨張率について触れた。

・体積が一定の過程における圧力のふるまいを、数式で考えた。

参考文献

・三宅哲(1994)『熱力学』,裳華房.

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