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エントロピー増大則とは、断熱過程における不可逆変化で、エントロピーが増大する法則のことである。数式で表すと次のようになる。
$$dS≥0$$
目次
前提知識
エントロピーの定義
基準状態\(O\)に対する、状態\(A\)におけるエントロピーとは、次のように定義された。
$$S(A)=\int_O^A \frac{d’Q}{T}$$
参考:エントロピーの定義とは
不可逆過程を含むサイクルの熱効率
不可逆過程を含むサイクルの熱効率\(η’\)と、可逆過程のみで構成されるサイクルの熱効率\(η\)は、次の関係を満たす。
$$η≥η’$$
参考:カルノーサイクルの効率
エントロピー増大則の求め方
不可逆過程を含むサイクルとエントロピーの微小量
(不可逆過程2の図)
上のように、可逆過程\(C_1\)と不可逆過程\(C_2\)で構成されるサイクル\(C\)を考える。このサイクル\(C\)は不可逆過程を含むため、次の式が成り立つ。
\begin{eqnarray} \oint_C \frac{d’Q}{dT}&=&\int_{C_1}\frac{d’Q}{dT}+\int_{C_2}\frac{d’Q}{dT}\\&<&0･･･(1) \end{eqnarray}
一方、可逆的な経路\(C_1\)に沿って\(A\)から\(B\)に状態が変化したときのエントロピー変化\(S(B)-S(A)\)は、次のように書けた。
$$\int_A^B \frac{d’Q}{dT}=S(B)-S(A)･･･(2)$$
参考:エントロピーの定義とは
式(2)を式(1)に代入する。
$$S(B)-S(A)+\int_{C_2}\frac{d’Q}{dT}<0$$
エントロピーの項を右辺に移項する。
$$\int_{C_2} \frac{d’Q}{dT}<S(A)-S(B)$$
両辺の微小量をとると、上の式は次のようになる。
$$\frac{d’Q}{T}<dS･･･(3)$$
断熱過程におけるエントロピー変化
今考えている不可逆過程が断熱過程であると仮定すると、式(3)左辺の\(d’Q\)が\(0\)になる。
$$0<dS$$
この式は、断熱過程における不可逆変化では、必ずエントロピーは増大する。この式のことをエントロピー増大則という。
ちなみに可逆過程では、同じような手順を踏んで\(dS=0\)であることが求まる。この2式をまとめてみる。
$$dS≥0$$
まとめ
・エントロピー増大則とは、断熱過程における不可逆変化で、エントロピーが増大する法則のことである。
参考文献
・藤井勝彦(1990)『統計力学』,マグロウヒル出版株式会社.
・三宅哲(1994)『熱力学』,裳華房.
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