円運動と向心力・遠心力を理解するためには、観測者の状態による見かけ上の力を理解する必要がある。向心力は、物体が円運動をするために必要な力で、実際に物体に働いている。一方遠心力は、観測者が物体と一緒に円運動しているときに考えるもので、実際に物体には働いていない見かけ上の力である。
向心力と遠心力の向きは正反対で、その大きさは同じである。その大きさを\(F\)とすると、次の式が成り立つ。
$$F=mrω^2=m\frac{v^{2}}{r}$$
\(m\):質量 \(r\):軌道の半径 \(ω\):角速度[rad/s] \(v\):物体の速度[m/s]
今回のコラムのテーマは、「ダイヤモンドダスト」です。
みなさんはダイヤモンドダストと聞いて、何を思い浮かべますか？管理人の場合、ポケモンのレッドと戦うときにたまになる天候、というイメージが強いです。このゲーム内でもかなりのレアイベントらしい(自分は実機で見たことない)ですが、現実のダイヤモンドダストも、雪国に住んでない限りはほとんど縁がない現象でしょう。自分も写真でしか見たことがありませんが、きらきらしていてとてもきれいですよね。この現象はなぜ発生するのでしょうか。
複素積分の解き方は、コーシーの積分定理や留数定理を利用するものや、自分で特定の積分経路を指定するものなど、様々な種類がある。問題を解くときはそれらを適切に使い分けなければいけないが、すべての方法が頭に入っていなければ土俵に上がることすらもできない。この記事では、定理を使う複素積分の解き方のパターンをまとめてみようと思う。
この記事では以前紹介した「正則」という単語が重要になるため、先にコーシー・リーマンの方程式の記事を読むことをお勧めする。
複素関数\(f(z)\)が範囲\(D\)で複素微分ができるとき、複素関数\(f(z)\)は範囲\(D\)で正則であるという。
ここで、\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)(ただし\(z=x+iy\)で、かつ\(u(x,y)\),\(v(x,y)\),\(x\),\(y\)はすべて実数)とすると、下の2つの方程式をまとめてコーシー・リーマンの方程式と呼ぶ。
$$\frac{∂u(x,y)}{∂x}=\frac{∂v(x,y)}{∂y}$$
$$\frac{∂u(x,y)}{∂y}=-\frac{∂v(x,y)}{∂x}$$
\(u(x,y)\)と\(v(x,y)\)が上のコーシー・リーマンの方程式を満たすとき、複素関数\(f(z)\)は正則であるといえる。
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ガウスの法則
$$div {\bf D}({\bf r},t)=ρ({\bf r},t)$$
磁束保存則
$$div {\bf B}({\bf r},t)=0$$
アンペール・マクスウェルの法則
ファラデーの誘導法則
電場と電束密度、磁場と磁束密度の関係式
$${\bf D}({\bf r},t)=ε{\bf E}({\bf r},t)$$
$${\bf B}({\bf r},t)=μ{\bf H}({\bf r},t)$$
\({\bf E}({\bf r},t)\):電場 \({\bf D}({\bf r},t)\):電束密度 \({\bf H}({\bf r},t)\):磁場 \({\bf B}({\bf r},t)\):磁束密度
\(ρ({\bf r},t)\):電荷密度 \({\bf i}({\bf r},t)\):電流密度 \(ε\):誘電率 \(μ\):透磁率
最初の4つの方程式をまとめてMaxwell方程式という。この形式を、Maxwell方程式の微分形という。後の2つは補足として電場と電束密度、磁場と磁束密度の関係式をそれぞれ書いた。
今回のコラムのテーマは、「ガラスの状態」についてです。
この記事のタイトルを見て、「はぁ？ガラスとかあんな硬いもの固体に決まってんだろ」と思った人も多いと思います。管理人も大学に入る前は完全にそう思っていました。ところが、実は科学者の間でも意見が分かれるくらいあいまいな問題なのです。その証拠に、このガラスが液体なのか固体なのかという議論には、200年を超える長い歴史があります。
フーリエ変換
$$F(k)=\int_{-∞}^{∞} f(x)e^{-ikx} dx$$
逆フーリエ変換
$$f(x)=\frac{1}{2π}\int_{-∞}^{∞} F(k)e^{ikx} dk$$
波が関数\(f(x)\)で与えられるとする。それをフーリエ変換すると、波\(f(x)\)を波数\(k\)の関数\(F(k)\)として表すことができる。\(F(k)\)は、\(f(x)\)に含まれる波を波数\(k\)ごとに分解して、それぞれの波の大きさを関数として表したものである。フーリエ変換すれば波\(f(x)\)を\(F(k)\)に変換できるし、逆フーリエ変換すれば\(F(k)\)を波\(f(x)\)に変形できる。
フーリエ級数展開とフーリエ変換は、名前は似ているが全く異なるものを指す。今回は、フーリエ級数展開の話を進める。
フーリエ級数展開とは、周期的な関数\(f(x)\)をsinやcosの和で表す動作のことである。この式は、周期\(L\)を使って次のように表せる。
$$a_0=\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2} f(x) dx$$
$$a_n=\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2} f(x)cos(\frac{2πnx}{L}) dx$$
$$b_n=\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2} f(x)sin(\frac{2πnx}{L}) dx$$
たまに\(\frac{a_0}{2}\)を\(a_0\)と書く本もあるため、かなりややこしいことになっている。この差は、「\(\frac{1}{2}\)は定数だから、同じく定数である\(a_0\)とまとめれば見栄えが良くなる」という意味しかない。事実、f(x)の展開後の第一項を単に\(a_0\)と書いてある本では、\(a_0\)を求める公式は次のようになっているはずだ。
もし\(\frac{a_0}{2}\)の方で覚えておけば、「\(a_0\)も\(a_n\)も\(b_n\)も、公式の右辺には全部最初に\(\frac{2}{L}\)がつく」と覚えられるため、公式を思い出しやすくなる。よって、管理人は一番上の式ように\(\frac{a_0}{2}\)で覚えることをおすすめする。
今回のコラムは、量子力学の「トンネル効果」です。
トンネル効果を一言で説明すると、「粒子がポテンシャル(位置エネルギー)を通り抜ける現象のこと」です。量子力学では、電子のようなものすごく小さい素粒子を中心に取り扱います。そのような素粒子は、正確に「この座標ににある！」といった具合に場所を特定することはできません。そのかわりに、「この素粒子がここにある確率は〇〇%！」というように、粒子がある場所を確率で表します。
今回のコラムは重さの単位「kg」についてです。
100年以上使われてきた国際キログラム原器がもうすぐなくなるかもしれません。今現在、キログラムの定義が「キログラム原器」を使ったものから他の方法に変える取り組みが急ピッチで進められています。
