カルノーサイクルの仕事と熱効率

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カルノーサイクルとは、等温過程断熱過程という2種類の準静的過程で構成された熱機関のことである。

この記事では、このサイクルにおける仕事と熱効率の導出を行う。

また、この記事内では、前の記事で求めた公式をたくさん使うことになる。もし自信がなかったら、先に下の記事を読んでおくことをお勧めする。また、断熱過程のグラフの方が等温過程のグラフよりも急である理由も、下の記事を参照のこと。

参考:理想気体と過程に関わる公式集



カルノーサイクルの過程

上図のカルノーサイクルは、4つの過程で成り立っている。それぞれで系にどのような影響が表れるか、個別に確かめていく。

1→2等温過程

等温過程における系がする仕事\(W’\)は、次のように表された。

$$W’_{1→2}=nRTln\frac{V_2}{V_1}$$

ジュールの法則より、理想気体において、温度\(T\)が一定ならば、内部エネルギーは体積によらず一定である。つまり、\(dU=0\)

これらを熱力学第一法則\(dU=d’Q-d’W’\)に代入する。温度は\(T_1\)で一定である。

$$Q_{1→2}=nRT_1ln\frac{V_2}{V_1}$$

この式から、\(Q_{1→2}>0\)がいえる。つまり、この等温過程によって、系に熱が取り込まれていることがわかる。

2→3断熱過程

断熱過程より、\(d’Q=0\)である。これを熱力学第一法則に代入する。

$$dU=-d’W’=-pdV$$

\(C_V\)を1molあたりの定積熱容量(定積モル比熱)とすると、

$$dU=nC_VdT$$

この2式より、

$$pdV=-nC_VdT$$

\(d’W’=pdV\)の両辺を積分して計算する。

\begin{eqnarray} W’_{2→3}&=&\int_{V_2}^{V_3} p dV\\&=&-\int_{T_1}^{T_2} nC_VdT\\&=&-nC_V(T_2-T_1)\\&=&nC_V(T_1-T_2) \end{eqnarray}

3→4等温過程

1→2のときと同様の計算をするが、\(V_3>V_4\)に注意すること。

$$W’_{3→4}=-nRT_2ln\frac{V_3}{V_4}$$

等温過程とジュールの法則より、

$$dU=0$$

これらを熱力学第一法則\(dU=d’Q-d’W’\)に代入する。温度は\(T_2\)で一定である。

$$Q_{3→4}=-nRT_2ln\frac{V_3}{V_4}$$

この式から、\(d’Q<0\)がいえる。つまり、この等温過程によって、系から熱が放出されていることがわかる。

4→1断熱過程

2→3の断熱過程と同様にして求める。

\begin{eqnarray} W’_{4→1}&=&\int_{V_4}^{V_1} p dV\\&=&-\int_{T_2}^{T_1} nC_VdT\\&=&-nC_V(T_1-T_2) \end{eqnarray}

カルノーサイクルの仕事

カルノーサイクルが1→2→3→4→1というようにして一周する間に気体がした仕事\(W’\)を求める。

\begin{eqnarray}W’&=&W’_{1→2}+W’_{2→3}+W’_{3→4}+W’_{4→1}\\&=&nRT_1ln\frac{V_2}{V_1}+nC_V(T_1-T_2)-nRT_2ln\frac{V_3}{V_4}-nC_V(T_1-T_2)\\&=&nR \left( T_1ln\frac{V_2}{V_1}-T_2ln\frac{V_3}{V_4} \right) \end{eqnarray}

断熱過程の式について

2→3は断熱過程だから、\(T_1V_2^{γ-1}=T_2V_3^{γ-1}\)が成立。

4→1も同様に、\(T_1V_1^{γ-1}=T_2V_4^{γ-1}\)が成立。

上の式を下の式で割ると、

$$\frac{T_1V_2^{γ-1}}{T_1V_1^{γ-1}}=\frac{T_2V_3^{γ-1}}{T_2V_4^{γ-1}}$$
$$\left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{γ-1}=\left( \frac{V_3}{V_4} \right)^{γ-1}$$

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4}$$

断熱過程の式の導入

上の式を仕事の式に代入すると、

\begin{eqnarray}W’&=&nR \left( T_1ln\frac{V_2}{V_1}-T_2ln\frac{V_3}{V_4}\right)\\&=&nR \left( T_1-T_2 \right)ln \frac{V_2}{V_1} \end{eqnarray}

\(T_1>T_2\)に注意すると、\(W’>0\)を確認できる。ちなみにこの\(W’\)の値は、上図の赤線と青線に囲まれた面積に等しい。

カルノーサイクルの熱量

気体がカルノーサイクル1→2→3→4→1一周分で得る熱量\(Q\)は、

\begin{eqnarray}Q&=&Q_{1→2}+Q_{2→3}+Q_{3→4}+Q_{4→1}\\&=&nRT_1ln\frac{V_2}{V_1}+0-nRT_2ln\frac{V_3}{V_4}+0\\&=&nR \left( T_1ln\frac{V_2}{V_1}-T_2ln\frac{V_3}{V_4} \right)\\&=&nR \left( T_1-T_2 \right)ln \frac{V_2}{V_1} \end{eqnarray}

これは、気体がした仕事\(W’\)と等しい。

$$Q=W’$$

この式と熱力学第一法則より、カルノーサイクルが一周すると、内部エネルギーが元通りになることが確認できる。

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カルノーサイクルの熱効率

熱効率とは

熱効率\(η\)とは、サイクルに入れる熱量と、サイクルが外部にする仕事の割合である。次のように定義される。

$$η=\frac{W_{out}}{Q_{in}}$$

カルノーサイクルでは、一周すると元の状態に戻ってくるから、\(dU=0\)となる。すると熱力学第一法則より、\(W_{out}=Q_{in}-Q_{out}\)が求まる。これを熱効率の定義に代入する。

$$η=1-\frac{Q_{out}}{Q_{in}}$$

この式の導出には理想気体の状態方程式が使われていないため、サイクル内の気体が理想気体でなくても成り立つ

理想気体のカルノーサイクルの熱効率

今考えている理想気体のカルノーサイクルでは、サイクルに入れる熱量は\(Q_{1→2}\)である。

\begin{eqnarray} η&=&\frac{W’}{Q_{1→2}}\\&=&\frac{nR \left( T_1-T_2 \right)ln \frac{V_2}{V_1}}{nRT_1ln\frac{V_2}{V_1}}\\&=&1-\frac{T_2}{T_1} \end{eqnarray}

まとめ

・カルノーサイクルは、等温過程と断熱過程で構成される。

・カルノーサイクルの効率\(η\)は、

一般的な気体:\(η=1-\frac{Q_{out}}{Q_{in}}\)

理想気体:\(η=1-\frac{T_2}{T_1}\)

参考文献

・三宅哲(1994)『熱力学』,裳華房.

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