力のモーメントと角運動量の関係

従来の運動量\({\bf p}=m{\bf v}\)は、物体の並進運動の勢いや激しさを表していた。これの回転運動バージョンが角運動量である。つまり角運動量\({\bf L}\)とは、回転軸に対する回転運動の勢いや激しさを表すパラメータである。

$${\bf L} \equiv {\bf r}×{\bf p}$$

力のモーメント\({\bf N}\)とは、回転軸に対して物体を回転させようとする力の大きさを表す。トルクと呼ばれることもある。

$${\bf N} \equiv {\bf r}×{\bf F}$$

角運動量ベクトル\({\bf L}\)と力のモーメントのベクトル\({\bf N}\)の関係は次の通りになる。

$$\frac{d{\bf L}}{dt}={\bf N}$$

この記事では、２次元平面と３次元空間でこの\({\bf L}\)と\({\bf N}\)の関係式が成り立つことを示す。

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ジュールの法則とその微分形の導出

ジュールの法則

$$W=IΔφ=RI^2=\frac{(Δφ)^2}{R}$$
\(W\):単位時間あたりで2点間で発生する熱量　\(Δφ\):2点間の電位差　\(R\):2点間の抵抗　\(I\):2点間を流れる電流

ジュールの法則の微分形

$$w({\bf r})={\bf j}({\bf r})･{\bf E}({\bf r})$$

\(w\):単位体積内かつ単位時間で発生する熱量　\({\bf j}\):電流密度　\({\bf E}\):電場

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オームの法則とその微分形の導出

オームの法則

$$Δφ=RI$$

\(Δφ\):2点間の電位差　\(R\):2点間の抵抗　\(I\):2点間を流れる電流

オームの法則の微分形

$${\bf j}=σ{\bf E}$$

\({\bf j}\):電流密度　\(σ\):電気伝導率　\({\bf E}\):電場

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示強性・示量性とは

物理量は、示量性変数と示強性変数(強度変数)の2種類に分類される。これらの違いは、系の大きさを変えたときに、その物理量が系の大きさの変化に比例するかどうかで決まる。系の大きさに比例する方を示量性変数、しない方を示強性変数とよぶ。具体的には、示量性変数は体積\(V\)や物質量\(n\)、示強性変数は温度\(T\)や圧力\(p\)が挙げられる。

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電磁ポテンシャルとゲージ変換の導出

スカラーポテンシャル\(φ\)とベクトルポテンシャル\({\bf A}\)をまとめて電磁ポテンシャルと呼ぶ。

$${\bf E}(t,{\bf r})=-∇φ(t,{\bf r})-\frac{∂{\bf A}(t,{\bf r})}{∂t}$$
$${\bf B}(t,{\bf r})=∇×{\bf A}(t,{\bf r})$$

電場\({\bf E}(t,{\bf r})\)と磁束密度\({\bf B}(t,{\bf r})\)は、次のゲージ変換で不変である。

$${\bf A}→{\bf A}'(t,{\bf r})={\bf A}(t,{\bf r})+∇χ(t,{\bf r})$$
$$φ(t,{\bf r})→φ'(t,{\bf r})=φ(t,{\bf r})-\frac{∂}{∂t}χ(t,{\bf r})$$

参考:Maxwell方程式の微分系と積分系

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ブラケットベクトルと消滅演算子・生成演算子の関係まとめ

消滅演算子\(\hat{a}\)は固有値を1つ下げ、生成演算子\(\hat{a}^†\)は固有値を1つ上げる性質をもつ。この記事では、下の7つの式の導出と、それらが意味することの確認を行う。

$$\hat{n}\hat{a}φ_n=(n-1)\hat{a}φ_n・・・(1)$$
$$\hat{n}\hat{a}^†φ_n=(n+1)\hat{a}^†φ_n・・・(2)$$

$$\hat{a}|0>=0・・・(3)$$

$$\hat{n}|n>=n|n>・・・(4)$$

$$\hat{a}^†|n>=\sqrt{n+1}|n+1>・・・(5)$$
$$\hat{a}|n>=\sqrt{n}|n-1>・・・(6)$$

$$<m|n>=δ_{mn}・・・(7)$$

参考:ブラベクトル・ケットベクトルの意味とは

参考:消滅演算子・生成演算子

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消滅演算子・生成演算子の交換関係の導出

調和振動子の消滅演算子\(\hat{a}\)と生成演算子\(\hat{a}^†\)、数演算子\(\hat{n}\)を使った交換関係をまとめてみた。

$$[\hat{a},\hat{a}^†]=1・・・(1)$$$$[\hat{n},\hat{a}]=-\hat{a}・・・(2)$$

$$[\hat{n},\hat{a}^†]=\hat{a}^†・・・(3)$$

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単振動する物体の軌跡

原点に向かって変位\(x\)に比例する大きさの力\(f\)が物体に働いている。

$$f=-kx$$

このような力による運動を単振動(調和振動)という。さらに単振動をする系を調和振動子という。

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